湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题1数与式

1. 下列说法中，正确的是（）

A . 若a≠b，则a²≠b² B . 若a＞|b|，则a＞b C . 若|a|=|b|，则a=b D . 若|a|＞|b|，则a＞b

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2. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

A . a>–4 B . bd>0 C . |a|>|d| D . b+c>0

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3. 设a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，则a，b，c之间的大小关系是（）

A . a<b<c B . c<b<a C . c<a<b D . a<c<b

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4. 如图，直线l：y＝x+1交y轴于点A₁ ，在x轴正方向上取点B₁ ，使OB₁＝OA₁；过点B₁作A₂B₁⊥x轴，交l于点A₂ ，在x轴正方向上取点B₂ ，使B₁B₂＝B₁A₂；过点B₂作A₃B₂⊥x轴，交l于点A₃ ，在x轴正方向上取点B₃ ，使B₂B₃＝B₂A₃；…记△OA₁B₁面积为S₁ ， △B₁A₂B₂面积为S₂ ， △B₂A₃B₃面积为S₃ ， …则S₂₀₁₇等于（）

A . 2⁴⁰³⁰ B . 2⁴⁰³¹ C . 2⁴⁰³² D . 2⁴⁰³³

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5. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）.

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（）

A . a B . b C . AD D . AB

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7. 一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（）

A . 10 B . 12 C . 14 D . 16

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8. n是整数，式子 $\text{[math]}$ [1﹣（﹣1）ⁿ]（n²﹣1）计算的结果（　　）

A . 是0 B . 总是奇数 C . 总是偶数 D . 可能是奇数也可能是偶数

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9. 如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正数，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . 1 C . 2 D . $\text{[math]}$

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10. 当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、…、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 时，计算分式 $\text{[math]}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（）

A . ﹣1 B . 1 C . 0 D . 2015

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11. 如果最简根式 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是同类二次根式，那么使 $\text{[math]}$ 有意义的x的取值范围是（　　）

A . x≤10 B . x≥10 C . x＜10 D . x＞10　

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12. 已知x为实数，化简 $\text{[math]}$ 的结果为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= $\text{[math]}$ ，计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　）

A . 2﹣4 $\text{[math]}$ B . 2 C . 2 $\text{[math]}$ D . 20

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14. 对于正整数n定义阶乘 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用阶乘表示）

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15. 若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是。

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16. 从﹣1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作a_k ， b_k）构成一个数对M_k＝{a_k ， b_k）（其中k＝1，2，…，s ，且将{a_k ， b_k}与{b_k ， a_k}视为同一个数对），若满足：对于任意的M_i＝{a_i ， b_i}和M_j＝{a_j ， b_j）（i≠j ， 1≤i≤s ， 1≤j≤s）都有a_i+b_i≠a_j+b_j ，则s的最大值是．

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17. 使得m²+m+7是完全平方数的所有整数m的积是。

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18. 分解因式（xy﹣1）²﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=．

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19. 观察下列各式： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ；

…

请利用你所得结论，化简代数式： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ （n≥3且n为整数），其结果为．

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20. 若实数 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为.

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21. 观察下面的变化规律：
$\text{[math]}$ ，……

根据上面的规律计算：

$\text{[math]}$ ．

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22. 刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第个．

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23. 请先阅读下列一段内容，然后解答问题：
因为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…… ， $\text{[math]}$ ，

所以： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

计算：

（1） $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ .

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24. 计算：

（1） $\text{[math]}$

（2） $\text{[math]}$

（3）有个填写运算符号的游戏:在“ $\text{[math]}$ ”中的每个口内，填入 $\text{[math]}$ 中的某一个(可重复使用)，然后计算结果
①算: $\text{[math]}$ .

② $\text{[math]}$ ，请在 $\text{[math]}$ 内直接填出运算符号.

③“ $\text{[math]}$ ”中的口内填入符号后，使计算所得数最小，请在口内直接填出运算符号.

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25. 课堂上老师讲解了比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的方法，观察发现11-10＝15-14＝1，于是比较这两个数的倒数：
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ，

请你设计一种方法比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，

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26. 如果我们要计算1+2+2²+2³+……+*2⁹⁹+2¹⁰⁰的值，我们可以用如下的方法：
解：设S=1+2+2²+2³+……+2⁹⁹+2¹⁰⁰①式

在等式两边同乘以2，则有2S=2+2²+2³+……+2⁹⁹+2¹⁰⁰+2¹⁰¹②式

②式减去①式，得2S-S=2¹⁰¹-1

即S=2¹⁰¹-1

即1+2+2²+2³+……+2⁹⁹+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1

[理解运用]计算：

（1） 1+3+3²+3³+……+3⁹⁹+3¹⁰⁰；

（2） 1-3+3²-3³+……-3⁹⁹+3¹⁰⁰

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27. 计算： $\text{[math]}$ 的结果.

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28. 请先阅读下列文字与例题,再回答后面的问题:
当因式分解中,无法直接运用提取公因式和乘法公式时,我们往往可以尝试一个多项式分组后,再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法.

例如:

① $\text{[math]}$

= $\text{[math]}$

= $\text{[math]}$

= $\text{[math]}$

② $\text{[math]}$

= $\text{[math]}$

= $\text{[math]}$

= $\text{[math]}$

（1）根据上面的知识,我们可以将下列多项式进行因式分解:
$\text{[math]}$ ()-()=()();

$\text{[math]}$ =()+()=()().

（2）分解下列因式:
① $\text{[math]}$ ;

② $\text{[math]}$ .

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29. 计算 $\text{[math]}$ 并求当x=1时,该代数式的值.

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30. 若x ， y为实数，且y＝ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ － $\text{[math]}$ 的值．

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31. 某商场在世界杯足球比赛期间举行促销活动，并设计了两种方案：一种是以商品价格的九五折优惠的方式进行销售；一种是采用有奖销售的方式，具体措施是：①有奖销售自2009年6月9日起，发行奖券10000张，发完为止；②顾客累计购物满400元，赠送奖券一张（假设每位顾客购物每次都恰好凑足400元）；③世界杯后，顾客持奖券参加抽奖；④奖项是：特等奖2名，各奖3000元奖品；一等奖10名，各奖1000元奖品；二等奖20名，各奖300元奖品；三等奖100名，各奖100元奖品；四等奖200名，各奖50元奖品；纪念奖5000名，各奖10元奖品，试就商场的收益而言，对两种促销方法进行评价，选用哪一种更为合算？

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32. 已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， $\text{[math]}$ ，b的形式，试求a^2n-1a²ⁿ（n≥1）的值.

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33. 某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．

现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）．

（1）若该客户按方案一购买，需付款元．（用含x的代数式表示）；若该客户按方案二购买，需付款元．（用含x的代数式表示）

（2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？

（3）当x＝5时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．

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34. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）²或 a²+2ab+b²
∴（a+b）²=a²+2ab+b²
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³=3²？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

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35. 用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用．
例： $\text{[math]}$ 能被2009整除吗？

解: $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ 中有因数2009，

∴ $\text{[math]}$ 一定能被2009整除．

请你试一试：已知数字 $\text{[math]}$ 恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数．

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36.
已知，求a的值．

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37. 阅读下列材料：小明为了计算 $\text{[math]}$ 的值，采用以下方法：
设 $\text{[math]}$ ①

则 $\text{[math]}$ ②

②-①得 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

（1） $\text{[math]}$ = ；

（2） $\text{[math]}$ = ；

（3）求1+a+a²+.....+aⁿ的和（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正整数，请写出计算过程）.

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38. 任意无理数都是由整数部分和小数部分构成的.
已知一个无理数 $\text{[math]}$ ，它的整数部分是 $\text{[math]}$ ，则它的小数部分可以表示为 $\text{[math]}$ .例如：

$\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，显然 $\text{[math]}$ 的整数部分是2，小数部分是 $\text{[math]}$ .

根据上面的材料，解决下列问题：

（1）若 $\text{[math]}$ 的整数部分是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的整数部分是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（2）若 $\text{[math]}$ 的整数部分是 $\text{[math]}$ ，小数部分是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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39. 我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）= $\text{[math]}$ .
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1>9-2>6-3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（1）填空：f（6）=，f（9）=；

（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字，得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有满足条件的两位正整数，并求f（t）的最大值．

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40. 材料：
数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因 $\text{[math]}$ ，将左边展开得到 $\text{[math]}$ ，移项可得 $\text{[math]}$ .（当且仅当 $\text{[math]}$ 时，取“ $\text{[math]}$ ”）

数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ （当且仅当 $\text{[math]}$ 时，取“ $\text{[math]}$ ”）并进一步发现，两个非负数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的和一定存在着个最小值.

根据材料，解答下列问题：

（1） $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）； $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）；

（2）求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（3）已知 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，代数式 $\text{[math]}$ 有最小值？并求出这个最小值.

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41. 阅读与思考
x²+（p+q）x+pq型式子的因式分解

x²+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？

我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x²+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x²+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）.

利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x²﹣x﹣6分解因式.这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x²+（p+q）x+pq型的式子.所以x²﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.

上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示.

这样我们也可以得到x²﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）.这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”.

请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：

（1）分解因式：y²﹣2y﹣24.

（2）若x²+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值.

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42. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： $\text{[math]}$ ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 像这样的分式是假分式；像 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，解决下列问题：

（1）将分式 $\text{[math]}$ 化为整式与真分式的和的形式为：（直接写出结果即可）

（2）如果分式 $\text{[math]}$ 的值为整数，求 $\text{[math]}$ 的整数值

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43. 阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为有理化因式.

（1） $\text{[math]}$ 的有理化因式是；

（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$

用上述方法对 $\text{[math]}$ 进行分母有理化.

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系并说明理由.

（4）直接写结果： $\text{[math]}$ .

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湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题1数与式

一、单选题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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