2025高考一轮复习（人教A版）第三十讲空间向量的应用

1. 设 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 8

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2. 已知直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 下列四个命题，其中真命题是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 关于平面 $\text{[math]}$ 对称的点的坐标是 $\text{[math]}$ B . 若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ D . 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量的坐标是 $\text{[math]}$

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4. 若平面 $\text{[math]}$ 的法向量分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是（）

A . 平行 B . 垂直 C . 相交但不垂直 D . 无法确定

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5. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为6，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为底面 $\text{[math]}$ 上的动点，满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，动点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，动点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．以 $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线分别为 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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10. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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11. 下列命题正确的是（）

A . 在空间直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 三点共线 B . 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ C . 若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ D . 已知三棱锥 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，P为棱 $\text{[math]}$ 的中点，Q为正方形 $\text{[math]}$ 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )

A . 若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则动点Q的轨迹是一条线段 B . 存在Q点，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 当且仅当Q点落在棱 $\text{[math]}$ 上某点处时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大 D . 若 $\text{[math]}$ ，那么Q点的轨迹长度为 $\text{[math]}$

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13. 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点，G是棱 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体 $\text{[math]}$ 所得截面为六边形 B . 点G到平面 $\text{[math]}$ 的距离为定值 C . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则G为棱 $\text{[math]}$ 的中点 D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的取值范围为 $\text{[math]}$

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14. 已知 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量，点 $\text{[math]}$ 位于平面 $\text{[math]}$ 内，写出平面 $\text{[math]}$ 内异于点 $\text{[math]}$ 的另一个点的坐标.

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15. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为.

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16. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，侧面 $\text{[math]}$ 是菱形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为1，且二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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17. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为BD的中点， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，且 $\text{[math]}$ .

（1）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的高；

（2）求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；

（3）在棱AD上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ？若存在，并求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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18. 正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

（3）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若存在，指出点 $\text{[math]}$ 的位置，若不存在，说明理由．

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19. 如图所示：多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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2025高考一轮复习（人教A版）第三十讲空间向量的应用

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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