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题型：解答题题类：难易度：普通

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高是长方体 $\text{[math]}$ 高的 $\text{[math]}$ ，且底面正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长及该长方体的外接球的体积；

（2）求正四棱锥的斜高和体积．

举一反三

长方体 $\text{[math]}$ 的各个顶点都在表面积为 $\text{[math]}$ 的球 $\text{[math]}$ 的球面上，其中 $\text{[math]}$ ，则四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为（）

在体积为72的直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=3，AC=4，AA₁=12．

球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为{#blank#}1{#/blank#}．

一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为{#blank#}1{#/blank#}．

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积是{#blank#}1{#/blank#}

魏晋时期数学家刘徽在他的著作 $\text{[math]}$ 九章算术注 $\text{[math]}$ 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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