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题型：解答题题类：难易度：困难

广东省信宜市信宜中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为 $\text{[math]}$ 的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为 $\text{[math]}$ 的立体，若记 $\text{[math]}$ 为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有 $\text{[math]}$ .

（1）、已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；

（2）、建立空间直角坐标系 $\text{[math]}$ ，取球心为 $\text{[math]}$ ，且半径为1的球体，点 $\text{[math]}$ 为其表面上一点.若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，球体在点 $\text{[math]}$ 处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

提示：①球面方程： $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 为球心坐标， $\text{[math]}$ 为球的半径；

②平面方程的点法式： $\text{[math]}$ ，其中平面过点 $\text{[math]}$ ，其法向量 $\text{[math]}$ .

举一反三

若不等式a²+b²+2＞λ（a+b）对任意正数a，b恒成立，实数λ的取值范围是（　　）

已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是{#blank#}1{#/blank#}．

已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的体积为（）

已知双曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ，则△ $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（I）求证： $\text{[math]}$ ；

（II）求证： $\text{[math]}$ .

在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若将其沿 $\text{[math]}$ 折起使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为（）

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