2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破20图形变换（1）：折叠问题

修改时间：2024-06-03 浏览次数：21 类型：复习试卷编辑

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一、矩形的折叠问题

1. 如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C^'处，BC^'交AD于E ， AD＝8，AB＝4，则重叠部分（即 $\text{[math]}$ ）的面积为（）

A . 6 B . 7.5 C . 10 D . 20

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2. 如图，把矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边的 $\text{[math]}$ 处，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将矩形沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，则重叠部分 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 10 B . 12 C . 16 D . 20

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4. 如图，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠后点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合.若原矩形的长宽之比为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M ．已知：AB=1，BC=2，则BM的长等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，将矩形的一角沿 $\text{[math]}$ 向上折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上．若 $\text{[math]}$ 的周长为6， $\text{[math]}$ 的周长为12，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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7. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为.

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8. 如图，将长宽比为 $\text{[math]}$ 的矩形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠，使点C落到宽 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处，点B落到点 $\text{[math]}$ 处，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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9. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ 在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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10. 如图，矩形纸片ABCD中， $\text{[math]}$ 是AD上一点，将 $\text{[math]}$ 沿CE对折得到 $\text{[math]}$ ，延长CF交AB于点 $\text{[math]}$ ，恰有 $\text{[math]}$ ，则AE的长为.

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11. 如图，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点D落在点B处，点C落在点 $\text{[math]}$ 处，P为折痕 $\text{[math]}$ 上的任意一点，过点P作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为G，H．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
则

（1） $\text{[math]}$ ；

（2）则 $\text{[math]}$ ．

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12. 如图，在矩形纸片 ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交AD 于点 F.

（1）求证：△AEF≌△CDF.

（2）求 DF 的长.

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13. 如图1，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在CD边上的 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ .

（1）如图2，若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，连接EB
①请你判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并证明；
②求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如图3，P为 $\text{[math]}$ 中点，连接BP.
①当 $\text{[math]}$ =2时，求BP的长；

②直接写出BP的取值范围.

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14.

（1）【猜想证明】
如图1，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN，MN.观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明.

（2）【拓展延伸】
在(1)的基础上，再沿 MN 所在的直线折叠，点 B落在AD 上的点B'处，得到折痕MG，同时得到线段 B'G，展开如图2.猜想四边形MBGB'的形状，并证明.

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15. [探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
[动手操作]如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'．请完成：

（1）观察图①中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；

（2）证明(1)中的猜想；

（3） [类比操作]如图②，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'．请完成：
求证：BB'是∠NBC的一条三等分线．

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16. 如图，已知矩形纸片 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．

（1）如图1，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点E．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．

（2）将图1中的矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点E的直线折叠，使点C落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，点B落在点 $\text{[math]}$ 处，折痕 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点F，连结 $\text{[math]}$ ，如图2，
①求证： $\text{[math]}$ ．
②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求折痕 $\text{[math]}$ 的长．
③当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．

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二、菱形的折叠问题

17. 如图，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则关系正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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18. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（）

A . 20° B . 25° C . 30° D . 35°

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19. 如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：
①若∠A=70°，则∠ABE=35°；②若点F是CD的中点，则S_△_ABE $\text{[math]}$ S_菱形_ABCD

下列判断正确的是（）

A . ①，②都对 B . ①，②都错 C . ①对，②错 D . ①错，②对

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20. 如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC，②MN=AM.下列说法正确的是（）

A . ①②都错 B . ①对②错 C . ①错②对 D . ①②都对

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21. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，菱形的面积为30；折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD相交于点E，F，当点M的位置变化时，DF的长的最大值为.

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22. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， M为边 $\text{[math]}$ 上的一点，将菱形沿 $\text{[math]}$ 折叠后，点A恰好落在 $\text{[math]}$ 的中点E处，则 $\text{[math]}$ ．

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23. 如图1，菱形纸片ABCD的边长为6cm，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上的点P（如图2）.若AE＝2BE，则六边形AEFCHG的面积为cm² ．

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24. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为.

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25. 对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B'两点重合，MN是折痕．若B'M=1，求CN的长．

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26. 如图，菱形ABCD中，E是AD上的点，沿BE折叠OABE，点A恰好落在BD上的点F处，连结CF，若∠DFC=110°，求∠BAD的度数．

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27. 如图矩形OABC的顶点A，C在x，y轴正半轴上，反比例函数y= $\text{[math]}$ (x>0)过OB的中点D，与BC，AB交于M，N，且已知D(m，2)，N(8，n)

（1）求此反比例函数的解析式；

（2）若将矩形一角折叠，使点O与点M重合，折痕为PQ，求点P的坐标；

（3）如图2，若将△OQM沿OM向左翻折，得到菱形OQMR，将该菱形沿射线OB以每秒 $\text{[math]}$ 个单位向上平移t秒。
①用t的代数式表示O'和R'的坐标；

②要使该菱形始终与反比例函数图象有交点，求t的取值范围。

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28. 已知：如图，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 的两个角分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 向内折起，恰好使点A和点C落在对角线BD上同一点O处．

（1）判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

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29. 将一个直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .P是边 $\text{[math]}$ 上的一动点（点P不与点A、B重合），沿着 $\text{[math]}$ 折叠该纸片，得点A的对应点 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 在第一象限，且满足 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）如图2，当P为 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出点P的坐标.

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三、正方形的折叠问题

30. 如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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31. 如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线 $\text{[math]}$ 上再展开，折痕所成四边形 $\text{[math]}$ 即为菱形），已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，则菱形 $\text{[math]}$ 的面积为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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32. 如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点 $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的一点，把△ABE沿BE翻折到△FBE，若 $\text{[math]}$ ，则DF的长为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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33. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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34. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为边 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠至 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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35. 甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形．
甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形；
乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形．
下列判断正确的是（）

A . 仅甲正确 B . 仅乙正确 C . 甲、乙均正确 D . 甲、乙均错误

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36. 如图，将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点 D 落在AB边的中点 E 处，点 C 落在点Q处，折痕为 FH，则线段 AF的长为cm.

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37. 如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(点A，C都落在点G处).若GF=4，EG=6，则DG的长为.

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38. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，连结EF，则 $\text{[math]}$ ．

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39. 如图，在正方形ABCD中，点M是AB边上的中点，将正方形ABCD沿DM折叠，使点A落在点E处，延长ME交BC于点N，连结DN．

（1）求证：Rt△CDN≌Rt△EDN；

（2）求∠MDN的度数；

（3）若AB=12，求BN的长．

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40. 如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点(不与点A，D重合) ，将正方形纸片沿EF折叠使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，连结BP．

（1）求证：∠APB=∠BPH．

（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积

（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．

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41. 如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若AD=4 cm，求CF的长.

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42. 如图，边长为2的正方形纸片ABCD中，点M为边CD上一点（不与C，D重合），将△ADM沿AM折叠得到△AME，延长ME交边BC于点N，连结AN.

（1）猜想∠MAN的大小是否变化，并说明理由；

（2）如图1，当N点恰为BC中点时，求DM的长度；

（3）如图2，连结BD，分别交AN，AM于点Q，H.若BQ＝ $\text{[math]}$ ，求线段QH的长度.

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43. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽 $\text{[math]}$ ．

（1）动手实践：如图1，A小组将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，点D落在 $\text{[math]}$ 边上的点E处，折痕为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $\text{[math]}$ ．试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并加以证明．

（2）如图2，B小组将矩形纸片 $\text{[math]}$ 对折使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，展平后得到折痕 $\text{[math]}$ ，再次过点A折叠使点D落在折痕 $\text{[math]}$ 上的点N处，得到折痕 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，展平后得到四边形 $\text{[math]}$ ，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

（3）深度探究：
如图 3，C小组将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 剪去，然后在边 $\text{[math]}$ 上取点G，H，将四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使A点的对应点 $\text{[math]}$ 始终落在边 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 不与点D，F重合），点E落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点T．
探究①当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．

探究②直接写出四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

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44. 如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：

（1）分别以 AB，AC 为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点 D 的对称点分别为E，F，延长 EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF 是正方形.

（2）设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程，求出 AD的长.

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破20图形变换（1）：折叠问题

一、矩形的折叠问题

二、菱形的折叠问题

三、正方形的折叠问题

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