解：①证明：由（1）可知

A E = A D

，

在矩形 $A B C D$ 中， $A D = B C ， ∠ A = ∠ B = 90 °$ ，

由折叠的性质可知 $B C = B^{'} C^{'} ， ∠ B = ∠ B^{'} = 90 °$ ，

∴ $A E = B^{'} C^{'}$ ，

∵ $E C^{'} = C^{'} E$ ，

∴ $△ A E C^{'} ≌ △ B^{'} C^{'} E (H L)$ ，

∴ $A C^{'} = B^{'} E$ ；

②解：过点E作 $E M ⊥ C D$ 于点D，如图所示：

∵ $∠ B = ∠ C = ∠ C M E = 90 °$ ，

∴四边形 $E B C M$ 是矩形，

∴ $B E = C M ， B C = E M = 6$ ，

∵ $A C^{'} = B^{'} E = B E ， A D = A E = 6$ ， $A B = 8$ ，

∴ $B E = 2 = B^{'} E = A C^{'} = C M$ ，

∴ $C^{'} D = 4$ ，

设 $C F = C^{'} F = x$ ，则 $D F = 8 - x$ ，

在 $R t △ D C^{'} F$ 中，由勾股定理得： $x^{2} = 4^{2} + {(6 - x)}^{2}$ ，

解得： $x = \frac{13}{3}$ ，

∴ $F M = C F - C M = \frac{7}{3}$ ，

∴ $E F = \sqrt{F M^{2} + E M^{2}} = \frac{\sqrt{373}}{3}$
③当 $△ E F C^{'}$ 为等腰三角形时， $a = \sqrt{2} b$ 或 $a = 2 b$ ．

2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破20图形变换（1）：折叠问题