备考2024年中考数学核心素养专题十三定值问题

1. 如果a，b为定值时，关于x的方程 $\text{[math]}$ =1，无论k为何值时，它的根总是2，则a+b的值为（）

A . 18 B . 15 C . 12 D . 10

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2. 如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是长方形，这五个四边形的周长分别用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示，则下列各式的值为定值的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的大长方形被分割为 $\text{[math]}$ 小块，除阴影 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 外，其余 $\text{[math]}$ 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $\text{[math]}$ ，下列说法中正确的有（）

      $\text{[math]}$ 小长方形的较长边为 $\text{[math]}$ ；

      $\text{[math]}$ 阴影 $\text{[math]}$ 的较短边和阴影 $\text{[math]}$ 的较短边之和为 $\text{[math]}$ ；

      $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 为定值，则阴影 $\text{[math]}$ 和阴影 $\text{[math]}$ 的周长和为定值；

      $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，阴影 $\text{[math]}$ 和阴影 $\text{[math]}$ 的面积和为定值．

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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4. 如图，在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点，则点 $\text{[math]}$ 到边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之和 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 是定值 $\text{[math]}$ B . 是定值 $\text{[math]}$ C . 有最小值 $\text{[math]}$ D . 有最大值 $\text{[math]}$

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5. 如图， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的余角比 $\text{[math]}$ 大 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内部有射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则下列结论： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的角度为定值且定值为 $\text{[math]}$ ，其中正确结论的个数有（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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6. 如图， $\text{[math]}$ 在第一象限内，点A是一次函数 $\text{[math]}$ 图象上一动点，点B，C的坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若反比例函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是定值9；③△DFE的面积最小值为4.5；④DE长度的最小值为3.其中正确的结论是（）

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ②③④

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8. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，G是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，给出四种情况：
①若G为 $\text{[math]}$ 的中点，则四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；②若G为 $\text{[math]}$ 上任意一点，则 $\text{[math]}$ ；③点G在运动过程中， $\text{[math]}$ 的值为定值4；④点G在运动过程中，线段 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．

A . ①②③④ B . ①②③ C . ①②④ D . ①③④

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9. 如图，在边长为a的正方形 $\text{[math]}$ 中，E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，则点P到边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之和 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 有最大值a B . 有最小值 $\text{[math]}$ C . 是定值a D . 是定值 $\text{[math]}$

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10. 已知无论 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取什么值，多项式 $\text{[math]}$ 的值都等于定值12，则 $\text{[math]}$ 等于（）．

A . 8 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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11. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 。下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的面积为定值；③ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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12. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别是边 $\text{[math]}$ 上任意点（不与端点重合），且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 相交于点G，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点H，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的大小为定值；③ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 一定不垂直；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，其中正确的结论有（）

A . ①② B . ①②④ C . ③④ D . ①③④

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13. 在平面直角坐标系xOy中，P ， Q是函数 $\text{[math]}$ 图象上异于A（1，1）的点，直线PQ与直线y＝x垂直，分别交x轴，y轴于点M ， N ．现给出以下结论：
①MP＝NQ；
②∠PAQ可能是直角；
③MN²﹣PQ²为定值；
④△MON的面积可能为2．
其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）

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14. 已知关于x，y的方程组 $\text{[math]}$ ，无论k取何值， $\text{[math]}$ 的值都是一个定值，则这个定值为．

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15. 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为定值，关于 $\text{[math]}$ 的一次方程 $\text{[math]}$ 无论 $\text{[math]}$ 为何值时，它的解总是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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16. 已知关于x，y的二元一次方程组 $\text{[math]}$ 有下列说法：①当x与y相等时，解得 $\text{[math]}$ ；②当x与y互为相反数时，解得 $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式 $\text{[math]}$ ，其中正确的序号是．

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17. 如图，点 $\text{[math]}$ 为定角 $\text{[math]}$ 的平分线上的一个定点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互补，若 $\text{[math]}$ 在绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，其两边分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，则以下结论：① $\text{[math]}$ 恒成立；② $\text{[math]}$ 的值不变；③四边形 $\text{[math]}$ 的面积不变；④ $\text{[math]}$ 的长不变，其中正确的序号为．

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18. 如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎祥变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为．

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19. 如图，边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 边上动点（不与A、D重合），连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ．则下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的周长是定值2；③当点E是 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ ；④点D到 $\text{[math]}$ 距离的最大值为 $\text{[math]}$ ，其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．

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20. 项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托盘（质量忽略不计），测得物品质量x（kg）与可变电阻y（Ω）的多组对应值，画出函数图象（如图1）.图2是三种测量方案，电源电压恒为8V，定值电阻为30Ω，与可变电阻串联.

【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流I相等， $\text{[math]}$ .可变电阻、定值电阻两端的电压之和为8V，则有 $\text{[math]}$ .

（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

（2）三个托盘放置不同物品后，电表A， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的读数分别为0.1A，6V，4V.请从以下方案中选择一个，求出对应物品的质量是多少kg？

（3）小明家买了某散装大米65kg，为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大米分批称重，用方案一、二、三来进行检验，设大米为 $\text{[math]}$ ，前两次称合适的千克数，第3次用含a的代数式表示，请填写下表.

	第1次（方案一）	第2次（方案二）	第3次（方案三）
大米（kg）
读数	I＝ A	$\text{[math]}$ ＝ V	$\text{[math]}$ V

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21. 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一条边长为7.5 cm时，它的邻边长为8 cm.

（1）设矩形相邻的两条边长分别为x cm，y cm，求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数吗?

（2）若其中一个矩形的一条边长为5 cm，求这个矩形与之相邻的另一条边长.

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22. 已知代数式 $\text{[math]}$ ，先用配再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数．

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23. 定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数 $\text{[math]}$ 图象关于3的“恒值点”．

（1）判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数 $\text{[math]}$ 图象关于10的“恒值点”．

（2）如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
Ⅰ.求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）

Ⅱ.当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．

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24. 对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p ，当其自变量的值为p时，其函数值等于p ，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，下图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．

（1）下列函数①y＝2x ， ②y＝x²+1，③y＝x²﹣2x中存在不动值的是（填序号）

（2）函数y＝3x²+bx ，
①若其不动长度为0，则b的值为；

②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；

（3）记函数y＝x²﹣4x（x≥t）的图象为G₁ ，将G₁沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G₂ ，函数G的图象由G₁和G₂两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为．

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25. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“雅心点”，例如点（ $\text{[math]}$ ， 1），（0，0），（ $\text{[math]}$ ， 2），…都是“雅心点”，显然，这样的“雅心点”有无数个.

（1）求一次函数 $\text{[math]}$ 上的所有“雅心点”的坐标为；

（2）若过点（1， $\text{[math]}$ ）的直线上恰好只有一个“雅心点”，请求出符合要求的直线解析式；

（3）若二次函数 $\text{[math]}$ （a是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“雅心点”，且“雅心点”的横坐标的值都不大于2，试求实数a的取值范围.

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26. 我们规定，对于已知线段AB，若存在动点C（点C不与点A，B重合）始终满足∠ACB的大小为定值，则称△ABC是“立信三角形”，其中AB的长称为它的“立信长”，∠ACB称为它的“立信角”.

（1）如图（1），已知立信△ABC中“立信长” $\text{[math]}$ ， “立信角” $\text{[math]}$ ，请直接写出立信△ABC面积的最大值；

（2）如图（2），在△ABD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C是立信△ABC所在平面上的一个动点，且立信角 $\text{[math]}$ ，求立信△ABC面积的最大值；

（3）如图（3），已知立信长 $\text{[math]}$ （a是常数且 $\text{[math]}$ ），点C是平面内一动点且满足立信角 $\text{[math]}$ ，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由.

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27. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，H为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，发现 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为定值.

（1） ① $\text{[math]}$ ▲ ；
② $\text{[math]}$ ▲ .

③小明为了证明①②，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于O ，连接 $\text{[math]}$ ，证明了 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，请你按他的思路证明①②.

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）
求① $\text{[math]}$ （用k的代数式表示）

② $\text{[math]}$ （用k、 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

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28. 探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线 $\text{[math]}$ 上的三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，兴趣小组提出猜想：若直线 $\text{[math]}$ 上任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是定值.通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立， $\text{[math]}$ 是定值，并且是直线 $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ ，叫做这条直线的斜率.

（1）请你应用以上规律直接写出过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ .

（2）探究活动二：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.
如图2，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请求出直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积.并写出你发现的结论.

（3）综合应用：
如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请结合探究活动二的结论，求出过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 垂直的直线的解析式.

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29. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过点K越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为h（m）（为定值）.设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离之间的函数关系式为y=ax²+bx+c（a≠0）.

（1） $\text{[math]}$ 的值为.

（2）若运动员落地点恰好到达 $\text{[math]}$ 点，且此时 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求基准 $\text{[math]}$ 点的高度 $\text{[math]}$ .

（3）若 $\text{[math]}$ 时，运动员落地点要超过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

（4）若运动员飞行的水平距离为 $\text{[math]}$ 时，恰好达到最大高度 $\text{[math]}$ ，试判断他的落地点能否超过点 $\text{[math]}$ ，并说明理由.

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30. 【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．
【探究】可做如下尝试：
y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．
【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是 ▲ ；
【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．
①点P的坐标是 ▲ ；
②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．

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31. 阅读材料：
对于两个正数a、b，则 $\text{[math]}$ （当且仅当a＝b时取等号）.

当 $\text{[math]}$ 为定值时， $\text{[math]}$ 有最小值；当 $\text{[math]}$ 为定值时， $\text{[math]}$ 有最大值.

例如：已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

解：由 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为 $\text{[math]}$ .

根据上面的阅读材料回答下列问题：

（1）已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为；

（2）已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是多少？

（3）用长为 $\text{[math]}$ 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？

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32. （发现问题）
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？

（解决问题）

小明尝试从函数图象的角度进行探究：

（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则x $\text{[math]}$ y＝4，2（x＋y）＝m，

即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么满足要求的（x，y）应该是函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象在第象限内的公共点坐标.

（2）画出函数图象
①画函数 $\text{[math]}$ （x＞0）的图象；

②在同一直角坐标系中直接画出 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ 的图象可以看成是由 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 ▲ 个单位长度得到.

（3）研究函数图象：平移直线 $\text{[math]}$ ，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 $\text{[math]}$ （x＞0）的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ▲ ，周长m的值为 ▲ ；

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围.

（4）（结论运用）面积为10的矩形的周长m的取值范围为.

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33. 对于任意正实数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，只有 $\text{[math]}$ 时，等号成立.结论：在 $\text{[math]}$ (，均为正实数）中，若为定值，则 $\text{[math]}$ ，只有当 $\text{[math]}$ 时，a+b有最小值 $\text{[math]}$ .根据上述内容，回答下列问题：

（1）初步探究：若 $\text{[math]}$ ，只有当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 最小值；

（2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证 $\text{[math]}$ ，并指出等号成立时的条件；

（3）拓展延伸：如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标.

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备考2024年中考数学核心素养专题十三定值问题

一、选择题

二、填空题

三、综合题

四、实践探究题

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