修改时间：2023-12-04 浏览次数：52 类型：同步测试
如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数n=a2-b2（a，b为正整数，且a＞b），则称正整数n为“智慧数”．例如：∵5=32-22 ， ∴5是“智慧数”．根据定义，直接写出最小的“智慧数”是．
提出问题：
如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪位数？
探究问题：
要解答这个问题，我们先要明白“智慧数”产生的规律．
探究1：“智慧数”一定是什么数？
假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使n=a2-b2（a，b为正整数，且a＞b）．
情况1：a、b均为奇数，或均为偶数．
分析：
∵a、b均为奇数，或均为偶数
∴（a+b）、（a-b）均为偶数
此时不妨设（a+b）=2c，（a-b）=2d
又∵n=a2-b2=（a+b）（a-b）=4cd
∴a2-b2为4的倍数，即n为4的倍数．
情况2：a、b为一奇数、一偶数．
分析：
∵a、b为一奇数、一偶数
∴（a+b）、（a-b）均为奇数
此时不妨设（a+b）=2c1，（a-b）=2d
1
又∵n=a2-b2=（a+b）（a-b）=4cd2c
2d
1
∴a2-b2为奇数，即n为奇数．
综上所述：“智慧数”为奇数或4的倍数．
探究2：所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗？
我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
先举例几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①--⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这“智慧数”分成两类．
情况1：n是奇数 | ||
| 分析n=a2-b2 | 结论 |
① | 3是“智慧数” | |
② | 5是“智慧数” | |
③ | 7是“智慧数” | |
④ | 9是“智慧数” | |
…… | …… | …… |
情况2：n是4的倍数 | ||
| 分析n=a2-b2 | 结论 |
⑤ | 8是“智慧数” | |
⑥ | 12是“智慧数” | |
⑦ | 16是“智慧数” | |
⑧ | 20是“智慧数” | |
…… | …… | …… |
情况1：n是奇数
观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数，且a、b的值均为连续的正整数．
猜想：所有奇数都是“智慧数”．
验证：设a=k+1，b=k（k≥1，且k为整数）
∵a2-b2=（k+1）2-k2=2k+1
∴2k+1是“智慧数”
又∵k≥1
∴2k+1≥3，即2k+1表示所有奇数（1除外）
∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”
应用：
请直接填空：∵11= 2-2 ∴11是“智慧数”
情况2：n是4的倍数．
观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a、b的差都为2．
猜想：所有4的倍数都是“智慧数”．
验证：设a=k+2，b=k（k≥1，且k为整数）
∵a2-b2=（k+2）2-k2=4k+4
∴4k+4是“智慧数”
又∵k≥1
∴4k+4≥8，即4k+4表示所有4的倍数（4除外）
∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”
应用：
请直接填空：∵24= 2- 2 ∴24“智慧数”
归纳“智慧数”的发现模型：
⑴对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是智慧数．
⑵当1≤n≤4时，只有1个“智慧数”；
当n≥5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有个“智慧数”，且第个数不是“智慧数”．
问题解决：
直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是．
实际应用：
若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是12cm，则这个直角三角形纸片的周长最大是cm．
将两个全等的直角三角形按如图①所示摆放，其中∠DAB=90°，试说明：a2+b2=c2
解：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a
因为S四边形ADCB= S△ADB+S△ABC= b2+
ab，
S四边形BADCB=S△ADB+S△DCB= c2+
a(b-a)，
所以 b2+
ab=
c2+
a(b-a)，
所以a2+b2=c2
请参照上述验证方法，利用图②说明a2+b°2=c2
分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB>AC，所以点C落在AB上的点C’处，即AC=AC’，据以上操作，易证明△ACD AC’D，所以∠AC’D=∠C，又因为∠AC’D>∠B，所以∠C>∠B.
感悟与应用：
①求证：∠B+∠D=180°；
②求AB的长.
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