2023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用同步测试（培优版）

1. 一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）

A . 30厘米、45厘米； B . 40厘米、80厘米； C . 80厘米、120厘米； D . 90厘米、120厘米

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2. 如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒 $\text{[math]}$ 处准备了一支蜡烛，蜡烛长为 $\text{[math]}$ ，纸筒的长度为 $\text{[math]}$ ，则这支蜡烛所成像的高度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S₁、S₂、S₃ ，（S₁与S₂ ， S₂与S₃的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S₁＞S₂＞S₃ ，则这个矩形的面积一定可以表示为（）

A . 4S₁ B . 6S₂ C . 4S₂+3S₃ D . 3S₁+4S₃

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4. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ .设矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，过 $\text{[math]}$ 的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与 $\text{[math]}$ 的顶点重合）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（）

A . 7∶5∶2 B . 13∶5∶2 C . 5∶3∶1 D . 26∶10∶3

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7. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是矩形 $\text{[math]}$ 四条边上的点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列一定能求出 $\text{[math]}$ 面积的条件是（）

A . 矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 的面积之差 B . 矩形 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 的面积之差 C . 矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 的面积之差 D . 矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 的面积之差

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8. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 作对角线 $\text{[math]}$ 的垂线并延长，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）个：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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9. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且 $\text{[math]}$ ．过点B作 $\text{[math]}$ ，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则 $\text{[math]}$ （）

A . 10：3 B . 3：1 C . 8：3 D . 5：3

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10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 4

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11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，若BD=6，AE=5，AB=7，则AC=.

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12. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为AC上一点，作 $\text{[math]}$ 交BC于点E ，点C关于DE的对称点为点O ，以OA为半径作⊙O恰好经过点C ，并交直线DE于点M ， N则MN的值为．

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13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为．

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14. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上的点、且 $\text{[math]}$ ，中线 $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 截得的三线段为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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15. 如图，面积为4的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是.

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16. 某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 $\text{[math]}$ cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 $\text{[math]}$ cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= $\text{[math]}$ CP．若∠APE=30°，则BP=cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为cm.

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17. 如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图3所示．

（1）利用图1、图2所示水的体积相等，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）求水面高度 $\text{[math]}$ ．

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18. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆” $\text{[math]}$ ，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高 $\text{[math]}$ 米，“标杆” $\text{[math]}$ 米，又 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．

（1）求大楼的高度 $\text{[math]}$ 为多少米（ $\text{[math]}$ 垂直地面 $\text{[math]}$ ）？

（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼 $\text{[math]}$ 上点G的高度 $\text{[math]}$ 米，那么相对于第一次测量，标杆 $\text{[math]}$ 应该向大楼方向移动米.

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19. 如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边 $\text{[math]}$ 固定， $\text{[math]}$ 直线l，连杆 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别绕点A、D转动，且边 $\text{[math]}$ 始终与边 $\text{[math]}$ 平行，P为 $\text{[math]}$ 上的一点（不与点C，D重合），过点P作 $\text{[math]}$ 直线l， $\text{[math]}$ ，垂足分别为E，F，即四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为Q，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点R．

（1） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似吗？请判断并说明理由．

（2）若道闸长 $\text{[math]}$ 米，宽 $\text{[math]}$ 米，点D距地面 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．
①求点B到地面l的距离；

②求 $\text{[math]}$ 的长．

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20. 如图，抛物线经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2） P是抛物线上的一个动点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线是有一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的面积最大，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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21. 我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.

（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形.（填“是”或“否”）

（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）应用拓展：
如图3，已知l₁∥l₂ ， l₁与l₂之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l₁上，点A在直线l₂上，有一边的长是BC的 $\text{[math]}$ 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l₂于点D，直接写出CD的值.

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22. 在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t， $\text{[math]}$ 的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作 $\text{[math]}$ 交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ，过点G作 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点Q， $\text{[math]}$ 的平分线交x轴于点M，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，过点H作 $\text{[math]}$ 于点R，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标.

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23. 如图：

（1） [基础巩固]如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（2） [尝试应用]如图2，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，F在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 延长线上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3） [拓展提高]如图3，E是 $\text{[math]}$ 内部一点，F为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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24. 如图

（1） [基础巩固]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：AC²=AD·AB．

（2） [尝试应用] 如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长．

（3） [拓展提高] 如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．

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25.

（1）【基础巩固】如图1，在 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 上一点，过点E作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 于点F，点D是 $\text{[math]}$ 上任意一点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好将 $\text{[math]}$ 三等分，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）【拓展延伸】
如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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