江苏省张家港市2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . -2 C . ±2 D . ±1

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2. 复数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别表示向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则表示向量 $\text{[math]}$ 的复数在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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4. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . π D . $\text{[math]}$

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5. 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . 5 D . 6

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6. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的中线，E为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若平面向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两的夹角相等，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 6 C . 0或 $\text{[math]}$ D . 0或6

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8. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 的中点，过点E的直线分别交直线 $\text{[math]}$ 于不同的两点M，N ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取到最小值时，实数m的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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9. 下列关于复数 $\text{[math]}$ 的四个命题，真命题的为（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 在 $\text{[math]}$ 内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的高等于 $\text{[math]}$ ，则以下四个结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为偶函数 B . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减

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12. 奔驰定理：已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ )的 $\text{[math]}$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若 $\text{[math]}$ 是锐角 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三个内角，且点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的垂心 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知对任意平面向量 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角度得到向量 $\text{[math]}$ ，叫做把点B绕着A沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到点P ． $\text{[math]}$ 沿顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到的向量 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数），并且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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16. 如图，已知直线 $\text{[math]}$ ，A是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的一个定点，并且点A到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离都为2，B是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，作 $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点C ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值是， $\text{[math]}$ 周长的最小值是．

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17.

（1）已知复数 $\text{[math]}$ 是关于x的方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的一个根，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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18. 已知 $\text{[math]}$ 是圆O的一条直径，且 $\text{[math]}$ ，C，D是直径 $\text{[math]}$ 同侧的半圆弧上两个三等分点，其中C是靠近A的三等分点．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）求 $\text{[math]}$ 的值．

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19. 圣·索菲亚教堂(SAINT SOPHIA CATHEDRAL)是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如左图．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 $\text{[math]}$ ，测得建筑物 $\text{[math]}$ 的高度为h ，在它们之间的地面上的点M(B ， M ， D三点共线)处可以测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，在楼顶A处可测得塔顶C的仰角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都垂直地面，如右图，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用h ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示）

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20. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是锐角， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）求 $\text{[math]}$ ．

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21. 在 $\text{[math]}$ 中，三个内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，请在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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22.

（1）对于平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ，并说明等号成立的条件；

（2）我们知道求 $\text{[math]}$ 的最大值可化为求 $\text{[math]}$ 的最大值，也可以利用向量的知识，将 $\text{[math]}$ 构造为两个向量的数量积形式，即：令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则转化为 $\text{[math]}$ ，求出最大值．利用以上向量的知识，完成下列问题：
①对于任意的 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

②求 $\text{[math]}$ 的最值．

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江苏省张家港市2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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