湖南省长沙市明达中学2020届高三(高复部)理数第二次模拟考试试卷

修改时间：2024-07-31 浏览次数：258 类型：高考模拟编辑

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一、单选题

1. “ $\text{[math]}$ ”是 $\text{[math]}$ 的二项展开式中存在常数项”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. 关于函数 $\text{[math]}$ 的下列判断，其中正确的是（）

A . 函数的图象是轴对称图形 B . 函数的图象是中心对称图形 C . 函数有最大值 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是减函数

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作 $\text{[math]}$ 九章算术注 $\text{[math]}$ 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . 16 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 关于三个不同平面 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，下列命题中的假命题是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 内一定存在直线平行于 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不垂直，则 $\text{[math]}$ 内一定不存在直线垂直于 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 内所有直线垂直于 $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 对于函数 $\text{[math]}$ ，如果其图象上的任意一点都在平面区域 $\text{[math]}$ 内，则称函数 $\text{[math]}$ 为“蝶型函数”，已知函数： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均不是“蝶型函数” B . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均是“蝶型函数” C . $\text{[math]}$ 是“蝶型函数”； $\text{[math]}$ 不是“蝶型函数” D . $\text{[math]}$ 不是“蝶型函数”： $\text{[math]}$ 是“蝶型函数”

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8. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 $\text{[math]}$ 异面且夹角成 $\text{[math]}$ 的直线的条数为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 设△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， (a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac ， sinAsinC＝ $\text{[math]}$ ，则角C=（）

A . C＝15°或C＝45° B . C＝15°或C＝30° C . C＝60°或C＝45° D . C＝30°或C＝60°

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11. 设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在双曲线 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 以上都不对

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12. 已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴与准线的交点，点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上.在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 设函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），将 $\text{[math]}$ 图像向左平移 $\text{[math]}$ 单位后所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为年

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15. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围是

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 成立，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为

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三、解答题

17. 如图，有一块边长为1( $\text{[math]}$ )的正方形区域 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角 $\text{[math]}$ 始终为45°（其中点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上），设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .

（1）用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的长度，并研究 $\text{[math]}$ 的周长 $\text{[math]}$ 是否为定值？

（2）问摄像头能捕捉到正方形 $\text{[math]}$ 内部区域的面积 $\text{[math]}$ 至多为多少？

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18. 如图，在以A ， B ， C ， D ， E ， F为顶点的多面体中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF

（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值

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19. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 $\text{[math]}$ 的包裹收费10元；重量超过 $\text{[math]}$ 的包裹，除 $\text{[math]}$ 收费10元之外，超过 $\text{[math]}$ 的部分，每超出 $\text{[math]}$ （不足 $\text{[math]}$ ，按 $\text{[math]}$ 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：

包裹重量（单位：kg）	1	2	3	4	5
包裹件数	43	30	15	8	4

公司对近60天，每天揽件数量统计如表：

包裹件数范围	0～100	101～200	201～300	301～400	401～500
包裹件数（近似处理）	50	150	250	350	450
天数	6	6	30	12	6

以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．

（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；

（2） ①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；

②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆短轴的上下两个端点， $\text{[math]}$ 是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的点，若 $\text{[math]}$ 的边长为4的等边三角形．

（1）写出椭圆的标准方程；

（2）当直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量是 $\text{[math]}$ 时，求以 $\text{[math]}$ 为直径的圆的标准方程；

（3）设点R满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比为定值．

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21. 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为各项都不相等的数列， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；

（3）若 $\text{[math]}$ 的各项都不为零， $\text{[math]}$ 是公差为d的等差数列，求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列的充要条件是 $\text{[math]}$ ．

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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为参数，曲线 $\text{[math]}$ ，以原点 $\text{[math]}$ 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ (均异于原点 $\text{[math]}$ )

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .

（1）解不等式 $\text{[math]}$ ；

（2）是否存在正数 $\text{[math]}$ ,同时满足： $\text{[math]}$ ？并说明理由.

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湖南省长沙市明达中学2020届高三(高复部)理数第二次模拟考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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