2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三上学期期中数学试卷（理科）

修改时间：2024-07-12 浏览次数：916 类型：期中考试编辑

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一、选择题

1. 设全集U=R，集合A={x|y=lgx}，B={﹣1，1}，则下列结论正确的是（　　）

A . A∩B={﹣1} B . （∁_RA）∪B=（﹣∞，0） C . A∪B=（0，+∞） D . （∁_RA）∩B={﹣1}

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2. 复数 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ 的实部与虚部的和为（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（　　）

A . y=2^x B . y=2^|x| C . y=2^x﹣2^﹣x D . y=2^x+2^﹣x

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4. 已知两个非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）=0，且2| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |，则＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=（）

A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°

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5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）

A . B . C . D .

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6. 设等差数列{a_n}满足a₂=7，a₄=3，S_n是数列{a_n}的前n项和，则使得S_n＞0最大的自然数n是（）

A . 9 B . 10 C . 11 D . 12

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7. 某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . 0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则z=|x﹣y|的最大值是（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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10. 已知P是双曲线 $\text{[math]}$ ﹣y²=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . 不能确定

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11. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（　　）

A . 24种 B . 28种 C . 32种 D . 36种

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12. 已知函数y=x²的图象在点（x₀ ， x₀²）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x₀必满足（）

A . 0＜x₀＜ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ＜x₀＜1 C . $\text{[math]}$ ＜x₀＜ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ＜x₀ $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知sinα﹣cosα=﹣ $\text{[math]}$ ，则sin2α=．

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14. 已知抛物线x²=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=．

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15. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=1，a_n₊₁=2S_n+3，则S₄=．

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16. 定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x²+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n₊₁=a_n+2 $\text{[math]}$ +1

（1）求证数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列，并求出a_n的通项公式；

（2）若b_n= $\text{[math]}$ ，求数列{b}的前n项的和T_n ．

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18. 已知长方体AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E为D₁C₁的中点，如图所示．
（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD₁与平面B₁EC的交线（不必说明理由）；
（Ⅱ）证明：BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）求平面ABD₁与平面B₁EC所成锐二面角的大小．

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19. 某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m， $\text{[math]}$ ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 $\text{[math]}$ ，至少进入一个社团的概率为 $\text{[math]}$ ，且m＞n．

（1）求m与n的值；

（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．

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20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y= $\text{[math]}$ x²的焦点，离心率等于 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 $\text{[math]}$ =λ₁ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证：λ₁+λ₂为定值．

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21. 已知函数f（x）=xlnx﹣ $\text{[math]}$ x²﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求a的取值范围；

（2）记两个极值点分别为x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ．已知λ＞0，若不等式e¹⁺^λ＜x₁•x₂^λ恒成立，求λ的范围．

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22. 如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．

（1）求证：C、D、G、E四点共圆．

（2）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．

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23. 已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 $\text{[math]}$ （θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．

（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．

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24. 设函数f（x）=|2x﹣ $\text{[math]}$ |+|2x+m|（m≠0）．

（1）证明：f（x）≥2 $\text{[math]}$ ；

（2）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t²﹣ $\text{[math]}$ t恒成立，求实数t的取值范围．

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2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三上学期期中数学试卷（理科）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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