解：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；

即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；

（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如下图．

可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．

令切点A（x₀，lnx₀），

故 $k = y^{'} |_{x = x_{0}} = \frac{1}{x_{0}}$ ，又 $k = \frac{\ln x_{0}}{x_{0}}$ ，

故 $\frac{1}{x_{0}} = \frac{\ln x_{0}}{x_{0}}$ ，

解得，x₀=e，

故 $k = \frac{1}{e}$ ，

故 $0 < a < \frac{1}{e}$ ．

（解法二）转化为函数 $g (x) = \frac{\ln x}{x}$ 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．

又 $g (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ ，

即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．

故g（x）_极大=g（e）= $\frac{1}{e}$ ；

又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，

故g（x）的草图如下图，

可见，要想函数 $g (x) = \frac{\ln x}{x}$ 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，

只须 $0 < a < \frac{1}{e}$ ．

（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，

而 $g^{'} (x) = \frac{1}{x} - a x = \frac{1 - a x}{x}$ （x＞0），

若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，

此时g（x）不可能有两个不同零点．

若a＞0，在 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时，g′（x）＞0，在 $x > \frac{1}{a}$ 时，g′（x）＜0，

所以g（x）在 $(0 ， \frac{1}{a})$ 上单调增，在 $(\frac{1}{a} ， + \infty)$ 上单调减，从而 $g {(x)}_{极大} = g (\frac{1}{a})$ = $\ln \frac{1}{a} - 1$ ，

又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，

于是只须：g（x）_极大＞0，即 $\ln \frac{1}{a} - 1 > 0$ ，所以 $0 < a < \frac{1}{e}$ ．

综上所述， $0 < a < \frac{1}{e}$ ．

2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三上学期期中数学试卷（理科）