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题型：综合题题类：常考题难易度：普通

山西省太原市2015-2016学年八年级上学期数学期末考试试卷

问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．

（1）、特例探究：

如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；

如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，∠D与∠A度数的比是；

（2）、猜想证明：

如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．

举一反三

如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，求AC．

如图，墙上钉了根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，再这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明建BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，其中的道理是{#blank#}1{#/blank#}.

如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.

徐光启是中国明代数学家，他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作．《几何原本》第Ⅰ卷命题9：“一个角可以切分为两个相等的角”即：作一个已知角的平分线．欧几里得给出以下的作图法：如图，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别取点D和E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．此法的关键是得到 $\text{[math]}$ ，进而得出 $\text{[math]}$ ．这里判断 $\text{[math]}$ 的依据是（）

【课本再现】

（1）如图1， $\text{[math]}$ 都是等边三角形． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O，试猪想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

【深入研究】

（2）在（1）的条件下，证明 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

【探究应用】

（3）如图2， $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，并证明．

直线AB ， CD均过点O ， ∠DOE＝90°．

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