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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省珠海市梅华中学子期中学2024-2025学年九年级上学期10月期中联考数学试题

【课本再现】

（1）如图1， $\text{[math]}$ 都是等边三角形． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O，试猪想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

【深入研究】

（2）在（1）的条件下，证明 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

【探究应用】

（3）如图2， $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，并证明．

举一反三

如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠DCB={#blank#}1{#/blank#} °

如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（）

如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=2 $\text{[math]}$ cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形.

同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．

已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

法一：如图1，在上取一点D ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

法二：如图2，延长到D ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

你选择方法．

证明：

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上的一点， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为垂足．下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的是（）

如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上以 $\text{[math]}$ 的速度由 $\text{[math]}$ 点向 $\text{[math]}$ 点运动，同时点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上由 $\text{[math]}$ 点向 $\text{[math]}$ 点运动．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，点 $\text{[math]}$ 的速度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

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