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题型：实践探究题题类：难易度：普通

浙江省金华市武义县2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷

如图

【问题呈现】如图 $\text{[math]}$ ，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作一个等边三角形，使它的顶点落在四边形 $\text{[math]}$ 的边上，其中至少有一个顶点与四边形的顶点重合．

【操作探究】

（1）、如图 $\text{[math]}$ ，小安仅用无刻度的直尺和圆规作图，步骤如下：

①分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径画弧，两弧相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

②以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 的长为半径画弧交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$

③连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形．

（2）、用不同于小安的作图方法在图 $\text{[math]}$ 中作一个等边三角形，其中一个顶点为 $\text{[math]}$ 要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明 $\text{[math]}$

（3）、如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长．

举一反三

如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC={#blank#}1{#/blank#} ．

矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．

如图所示，要在公园（四边形ABCD）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求：

（ 1 ）到公园两个出入口A、C的距离相等；

（ 2 ）到公园两边围墙AB、AD的距离相等；

请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P．（不必写作法，但要保留作图痕迹）

已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

已知： $\text{[math]}$ 和圆外一点P，求作：过点P的 $\text{[math]}$ 的切线．

作法：①连接 $\text{[math]}$ ；

②分别以O，P为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点C．

③以C为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点A，B；

④作直线 $\text{[math]}$ ．

所以直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线．

如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O ， OD⊥BC于点D ，连接OA ．

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