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题型：证明题题类：难易度：困难

黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．

（1）、如图1，求证： $\text{[math]}$ ．

（2）、如图2， $\text{[math]}$ 的平分线与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．

（3）、如图3，在（2）的条件下，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，在 $\text{[math]}$ 变化过程中，当点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 的位置时，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

举一反三

如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；

如图，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，点D在AC上，其中∠ABC=∠DBE=90°.

如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上的两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为 “好玩三角形”．在 Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 Rt $\text{[math]}$ 是 “好玩三角形”，则 $\text{[math]}$ 的长为 {#blank#}1{#/blank#}

如图，把直角三角板的直角顶点 $\text{[math]}$ 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．量得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该圆玻璃镜的半径是{#blank#}1{#/blank#} $\text{[math]}$ ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点E为边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的左侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

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