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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省清远市2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题2

探索一个问题： "任意给定一个矩形 $\text{[math]}$ ，是否存在另一个矩形 $\text{[math]}$ ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? "

（1）、完成下列空格：

当已知矩形 $\text{[math]}$ 的边长分别为 6 和 1 时，小明是这样研究的：设所求矩形 B 的一边是 $\text{[math]}$ ，则另一边为 $\text{[math]}$ ，由题意得方程： $\text{[math]}$ ，化简得：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ 满足要求的矩形 $\text{[math]}$ 存在.

小红的做法是：设所求矩形的两边分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，由题意得方程组： $\text{[math]}$ 消去 $\text{[math]}$ 化简后也得到： $\text{[math]}$ ， (以下同小明的做法)

（2）、如果已知矩形 $\text{[math]}$ 的边长分别为 2 和 1 时，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形 $\text{[math]}$ .

（3）、在小红的做法中，我们可以把方程组整理为： $\text{[math]}$ ，此时两个方程都可以看成是函数表达式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题. 仿照这种方法，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别表示矩形 $\text{[math]}$ 的两边长，直线经过点 $\text{[math]}$ ，双曲线经过点 $\text{[math]}$ ，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）

①这个图象所研究的矩形 $\text{[math]}$ 的面积为；周长为.

②满足条件的矩形 $\text{[math]}$ 的两边长为和.

举一反三

已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y= $\text{[math]}$ 交于一象限内的P（ $\text{[math]}$ ，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP= $\text{[math]}$ ．

已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x²﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（）

月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量 $\text{[math]}$ (万件)与销售价格 $\text{[math]}$ （元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为 $\text{[math]}$ （万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本.）

如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （k≠0）的图象相交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣3，0），A点的横坐标是3，tan∠CDO＝ $\text{[math]}$ ．

如图，直线y＝mx+n与两坐标轴分别交于点B，C，且与反比例函致y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）图象交于点A，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是6，则△DOC的面积是（　　）

如图，已知双曲线 $\text{[math]}$ 和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC= $\text{[math]}$ ．

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