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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省中山市2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷

定义：如图1，若P是 $\text{[math]}$ 内部一点，且 $\text{[math]}$ ，则称点P为 $\text{[math]}$ 的勃罗卡点，同时称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的勃罗卡角．

（1）、如图2，P为等边 $\text{[math]}$ 内部一点．其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请判断点P是不是等边 $\text{[math]}$ 的勃罗卡点，并说明理由；

（2）、如图3，P为等边 $\text{[math]}$ 的勃罗卡点，求等边 $\text{[math]}$ 的勃罗卡角的度数；

（3）、如图4，在（2）的条件下，作点P关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的勃罗卡点为M ， $\text{[math]}$ 的勃罗卡点为N ，求证： $\text{[math]}$ 为等边三角形．

举一反三

如图，点F是等边△ABC内一点，将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得△CBG，连接FG，则△BFG的形状是{#blank#}1{#/blank#}.

【探究与证明】

【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 份别为 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 亦 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

已知：矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点E、F，垂足为O．

如图，A、C、D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AC＝CE，∠B＝∠BCE＝∠CDE．求证：AB＝CD．

如图，平面直角坐标系中有点 $\text{[math]}$ 和y轴上一动点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角 $\text{[math]}$ ，设点C的坐标为 $\text{[math]}$ ．

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