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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省中山市2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷

定义：如图1，若P是 $\text{[math]}$ 内部一点，且 $\text{[math]}$ ，则称点P为 $\text{[math]}$ 的勃罗卡点，同时称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的勃罗卡角．

（1）、如图2，P为等边 $\text{[math]}$ 内部一点．其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请判断点P是不是等边 $\text{[math]}$ 的勃罗卡点，并说明理由；

（2）、如图3，P为等边 $\text{[math]}$ 的勃罗卡点，求等边 $\text{[math]}$ 的勃罗卡角的度数；

（3）、如图4，在（2）的条件下，作点P关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的勃罗卡点为M ， $\text{[math]}$ 的勃罗卡点为N ，求证： $\text{[math]}$ 为等边三角形．

举一反三

在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是{#blank#}1{#/blank#}

已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB=（）

数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的 $\text{[math]}$ 的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

如图，将矩形 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

如图，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点E．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，直线 $\text{[math]}$ 分别通过 $\text{[math]}$ 三点，且 $\text{[math]}$ ．若a与b之间的距离是 $\text{[math]}$ 与c之间的距离是7，则正方形 $\text{[math]}$ 的面积是（）

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