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题型：实践探究题题类：难易度：困难

吉林省长春市2023年中考数学试卷

（1）、【感知】如图①，点A、B、P均在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则锐角 $\text{[math]}$ 的大小为度．

（2）、【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆，点P在 $\text{[math]}$ 上（点P不与点A、C重合），连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．小明发现，延长 $\text{[math]}$ 至点E，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，通过证明 $\text{[math]}$ ，可推得 $\text{[math]}$ 是等边三角形，进而得证．

下面是小明的部分证明过程：

证明：延长 $\text{[math]}$ 至点E，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接四边形，

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 是等边三角形．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$

请你补全余下的证明过程．

（3）、【应用】如图③， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ，点P在 $\text{[math]}$ 上，且点P与点B在 $\text{[math]}$ 的两侧，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

举一反三

如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．

如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。求证：

（1）DE是⊙O的切线；
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。

如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．

如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交 $\text{[math]}$ 于点 B和点C（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，我们把点 B称为点A关于 $\text{[math]}$ 的“斜射点”．

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