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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

湖南省长沙市岳麓区长郡滨江中学2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ 和实数 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：当 $\text{[math]}$ 时，以点P为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆，称为点P的k倍相关圆.

例如，在如图1中，点 $\text{[math]}$ 的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆.

（1）、在点 $\text{[math]}$ 中，存在1倍相关圆的点是，该点的1倍相关圆半径为.

（2）、如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足 $\text{[math]}$ ，判断直线 $\text{[math]}$ 与点M的 $\text{[math]}$ 倍相关圆的位置关系，并证明.

（3）、如图3，已知点 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点B，直线l与直线 $\text{[math]}$ 关于y轴对称.

①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为.

②点D在直线 $\text{[math]}$ 上，点D的 $\text{[math]}$ 倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值 .

举一反三

定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a²﹣3a+b，如3⊕5=3²﹣3×3+5，若x⊕1=11，则实数x的值（　　）

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ .在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作⊙ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，给出下列结论：① $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；②⊙ $\text{[math]}$ 的半径是2； ③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中正确的是{#blank#}1{#/blank#}.(填序号)

阅读下面材料：

我们知道一次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数）的形式，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离可用公式 $\text{[math]}$ 计算．

例如：求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离．

解：∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$

∴点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为：

$\text{[math]}$

根据以上材料解答下列问题：

对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”：a※b＝a+kb，a*b＝ka+b（其中k为常数，且k≠0），若对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P′的坐标（a※b，a*b）与之对应，则称点P的“k衍生点”为点P′．例如：P（1，3）的“2衍生点”为P′（1+2×3，2×1+3），即P′（7，5）．

如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的直径为{#blank#}1{#/blank#}.

定义一种新运算：a*b＝ $\text{[math]}$ a﹣ $\text{[math]}$ b．若（x+3）*（2x﹣1）＝1，则根据定义的运算求出x的值为{#blank#}1{#/blank#}．

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