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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

北京市海淀区2019-2020学年七年级上学期数学期末试卷

给定一个十进制下的自然数 $\text{[math]}$ ，对于 $\text{[math]}$ 每个数位上的数，求出它除以 $\text{[math]}$ 的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数 $\text{[math]}$ 的“模二数”，记为 $\text{[math]}$ .如 $\text{[math]}$ .对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相加得 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相加得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相加得 $\text{[math]}$ ，并向左边一位进 $\text{[math]}$ .如 $\text{[math]}$ 的“模二数” $\text{[math]}$ 相加的运算过程如下图所示.

根据以上材料，解决下列问题：

（1）、 $\text{[math]}$ 的值为， $\text{[math]}$ 的值为

（2）、如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足“模二相加不变”.

①判断 $\text{[math]}$ 这三个数中哪些与 $\text{[math]}$ “模二相加不变”，并说明理由；

（3）、②与 23 “模二相加不变”的两位数有个

举一反三

著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可概括为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．

【阅读思考】

在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式 $\text{[math]}$ 改成两个平方之差的形式．解：原式 $\text{[math]}$ ﹒

如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”。当“协调边”为3时，它的周长为{#blank#}1{#/blank#}.

定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积在数量上相等，则这个点叫做和谐点．

现规定一种运算：a※b＝ab＋a－b，其中a、b为有理数，则2※(－3)（）

已知a是不等于-1的数，我们把 $\text{[math]}$ 称为a的和倒数，例如：2的和倒数为 $\text{[math]}$ ，若a₁=1，a₂是a₁的和倒数，a₃是a₂的和倒数，a₄是a₃的和倒数，a₅是a₄的和倒数，则a₁·a₂·a₃·a₄·a₅的值{#blank#}1{#/blank#}.

现在规定一种新运算：对于任意实数对（a ， b），满足a※b＝a²﹣b﹣5，若45※m＝1，则m＝{#blank#}1{#/blank#}．

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