如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD=2BD．

题型：证明题题类：常考题难易度：普通

如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线；

（2）AB+AD=2BD．

举一反三

联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．

举例：如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心．

应用：如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF= $\text{[math]}$ BP，求证：点P是△ABC的内心．

探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC= $\text{[math]}$ AP，求∠A的度数．

如图1，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D．

（1）求证：DB=DC=DI；

（2）若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，求tan $\text{[math]}$ 的值．

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