湖北省武汉市武昌区武珞路中学2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

1. 将 $\text{[math]}$ 化成一般式 $\text{[math]}$ 后， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值分别是（）

A . 1，2， $\text{[math]}$ B . 1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . 1， $\text{[math]}$ ， 5 D . 1，2，5

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2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）

A . B . C . D .

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3. 把抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 将二次函数 $\text{[math]}$ 化成 $\text{[math]}$ 的形式应为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 5

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6. 如图，在△ABC中，AB＝AC ， ∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB₁C₁的位置，连接BB₁ ，若BB₁∥AC₁ ，则∠CAC₁的度数是（）

A . 10° B . 20° C . 30° D . 40°

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7. 如图，有一张长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ 的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 $\text{[math]}$ ，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是 $\text{[math]}$ ，根据题意，可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 组成的图形绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，每次旋转 $\text{[math]}$ ，则第2023次旋转结束时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 14

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10. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 关于原点的对称点 $\text{[math]}$ 的坐标是

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11. 某次晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物110件，则参加晚会的同学共有人．

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12. 如图，是一个高速公路的隧道的横截面，它的形状是以 $\text{[math]}$ 为圆心的圆的一部分，如果 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中弦 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 经过圆心 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则此圆的半径 $\text{[math]}$ 的长为．

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13. 为了在比赛中取得更好的成绩，运动员小明积极训练，教练对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度 $\text{[math]}$ （m）与水平距离 $\text{[math]}$ （m）之间的关系为 $\text{[math]}$ ，由此可知小明此次投掷的成绩是m．

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14. 抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的一个交点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间（不包含端点），则以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确结论为．（填序号）

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15. 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，它们有且只有一个公共点．则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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16. 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，若方程的一个根 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值和方程的另一个根 $\text{[math]}$ ．

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17. 如图为二次函数 $\text{[math]}$ 的图象，试观察图象回答下列问题：

（1）写出方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围为；

（3）方程 $\text{[math]}$ 有实数根，的取值范围是；

（4）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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18. 如图，将矩形 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转得到矩形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 对应，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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19. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是弦， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 弧上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为6， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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20. 请用无刻度直尺按下列要求作图．

（1）如图1，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，①如图1，当点 $\text{[math]}$ 在圆上时，作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ：②如图2，当点 $\text{[math]}$ 不在圆上时，作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ．

（2）如图3，矩形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ．（点 $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 上）

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21. 我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），设每天安排 $\text{[math]}$ 人生产乙产品．

（1）求每天生产甲产品可获得的利润 $\text{[math]}$ （元）和乙产品可获得的利润 $\text{[math]}$ （元）与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；

（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的梨润多1250元，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）设生产甲、乙两种产品的总利润为 $\text{[math]}$ （元），求 $\text{[math]}$ 的最大值和相应的 $\text{[math]}$ 的值。

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22. 如图， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ 为平面内任意一点，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上时，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所夹锐角为度：

（2）如图2， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上时，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ ．猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 存在的关系，并证明你的猜想。

（3）如图3， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外一点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．试问： $\text{[math]}$ 的值是否随图形的旋转而变化?若不变，请求出该值：若变化，请说明理由．

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23. 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的一个动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

（3）将抛物线 $\text{[math]}$ 平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，过点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点，并求出定点的坐标．

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卡指定的位置。

三、解答题（共52分）

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湖北省武汉市武昌区武珞路中学2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卡指定的位置。

三、解答题（共52分）

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