2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破13 构造中位线

1. 老师布置的作业中有这么一道题：

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长不可能是（）

A.5 B.7 C.8 D.9

甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误。乙同学认为可以从中点 $\text{[math]}$ 出发，构造辅助线，利用全等的知识解决。丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是（）

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 乙和丙

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2. 如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= $\text{[math]}$ BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（）

A . 3 B . 4 C . 2 $\text{[math]}$ D . 3 $\text{[math]}$

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3. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A . 6 B . 5 C . 4 D . 3

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4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直线l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ cm， $\text{[math]}$ cm，则图中阴影部分面积为（）

A . 25cm² B . 35cm² C . 30cm² D . 42cm²

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则线段 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图：已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边在线段 $\text{[math]}$ 的同侧作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ；当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，则点 $\text{[math]}$ 移动路径的长是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . 5 B . 4 C . 3 D . 0

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8. 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在直线AC上，AD=1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接'BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为

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10. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点N是 $\text{[math]}$ 边上一点，点M为 $\text{[math]}$ 边上的动点，点D、E分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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11. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着对角线 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为．

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12. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为．

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13. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．

（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；

（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．

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15. 如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.

（1）求证：FG=FH，

（2）若∠A=90°，求证：FG⊥FH.

（3）若∠A=80°，求∠GFH的度数.

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16. 如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC 和∠ACB的平分线相交于点 D，E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点.

（1）求∠BDC的度数.

（2）连结 EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF 是平行四边形.

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17. 如图，在△ABC中，D 是边 BC 上一点，E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，连结EG，HF.求证：EG，HF 互相平分.

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18. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，求线段EF的最大值．

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19. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D ， E分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边的中点．求证： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）方法一：证明：如图，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（2）方法二：证明：如图，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

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20. 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形，在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上分别取点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形．

（2）点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点旋转到如图 $\text{[math]}$ 的位置时，求 $\text{[math]}$ 的度数．

（3）在(2)条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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21. 如图，在▱ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 恰好在边 $\text{[math]}$ 上．

（1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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22. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点，DF，EG的延长线相交于点H.

求证：

（1） DF//BG，DF= $\text{[math]}$ BG；

（2）四边形FBGH是平行四边形；

（3）四边形ABCH是平行四边形.

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23. 已知， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，过点C作 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

（2） P是线段 $\text{[math]}$ 上一点（不与点A，D重合）， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ．
①如图2，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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24. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 上两动点， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图2，若 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）如图3，若 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

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25. 在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．

（1）如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，且△DFE的面积为 $\text{[math]}$ ， DF＝2，求CD的长；

（2）如图2，若点G在BD上，且DG＝AB，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段BM，DH，BD的数量关系，并证明；

（3）如图3，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，且 $\text{[math]}$ ，连接BP，NQ，请直接写出BP＋PQ＋QN的最小值．

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26.

（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC ， P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM ．

（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E ，延长线段BC交MN的延长线于点F ．求证：∠AEM＝∠F ．

（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB ，点D在AC上，AD＝BC ， M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G ，连接GD ．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．

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27. 探究题

（1）
【证法回顾】

证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE= $\text{[math]}$ BC．
证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；请继续完成证明过程：

（2）【问题解决】

如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．

（3）【拓展研究】如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3 $\text{[math]}$ ，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破13 构造中位线

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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