2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破6 一元二次方程的特殊解法

1. 已知m，n都是实数，且 $\text{[math]}$ =0，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . 3 C . 1或3 D . -1或3

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2. 在分式方程 $\text{[math]}$ =5中，设 $\text{[math]}$ =y，可得到关于y的整式方程为（）

A . y²+5y+5=0 B . y²-5y+5=0 C . y²+5y+1=0 D . y²-5y+1=0

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2或-6 B . -2或6 C . 6 D . 2

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4. 设（x+y）（x+2+y）-15=0，则x+y的值为（）

A . -5或3 B . -3或5 C . 3 D . 5

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5. 实数 $\text{[math]}$ 满足方程 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或2 D . 4

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7. 已知x、y都是实数，且(x²+y²)(x²+y²+2)﹣3＝0，那么x²+y²的值是（）

A . ﹣3 B . 1 C . ﹣3或1 D . ﹣1或3

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8. 我们知道方程 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ，现给出另一个方程 $\text{[math]}$ ，它的解是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）．

A . 2或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或6 C . 6 D . 2

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10. 已知方程x²+2x﹣3=0的解是x₁=1，x₂=﹣3，则另一个方程（x+3）²+2（x+3）﹣3=0的解是（）

A . x₁=﹣1，x₂=3 B . x₁=1，x₂=﹣3 C . x₁=2，x₂=6 D . x₁=﹣2，x₂=﹣6

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11. 若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，则关于y的一元二次方程a(y+1)²+6(y+1)-4=0的解为.

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12. 若 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为

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13. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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14. 若实数x满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知x为实数，且满足 $\text{[math]}$ -12=0，那么 $\text{[math]}$ -x+1的值为.

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17. 解方程： $\text{[math]}$ ．（用十字相乘法求解）

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18. 解一元二次方程：

（1） $\text{[math]}$

（2） $\text{[math]}$ ，

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19. 用适当的方法解方程.

（1） $\text{[math]}$

（2） $\text{[math]}$ ．

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20. 解方程：我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程
① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$
③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$

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21. 阅读材料：解方程 $\text{[math]}$ ，我们可以将 $\text{[math]}$ 视为一个整体，然后设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，原方程化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 原方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
根据上面的解答，解决下面的问题：

（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想；

（2）解方程 $\text{[math]}$ ．

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22. 阅读材料：为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4＝0，我们可以将x²-1看作一个整体，设x²-1＝y ，则原方程可化为
y²-5y+4＝0①，解得y₁＝1，y₂＝4．
当y＝1时，x²-1＝1，∴x²＝2，∴x＝± $\text{[math]}$ ．
当y＝4时，x²-1＝4，x²＝5，∴x＝± $\text{[math]}$ ．
故原方程的解为x₁＝ $\text{[math]}$ ， x₂＝- $\text{[math]}$ ， x₃＝ $\text{[math]}$ ， x₄＝- $\text{[math]}$ ．
解答问题：

（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的．

（2）请利用以上知识解方程（x²+x）²-4（x²+x）+3＝0．

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23. 解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程 $\text{[math]}$ 时，可设 $\text{[math]}$ ，则原方程可化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ，无实数根；当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 根据上述方法，完成下列问题：

（1）设 $\text{[math]}$ ，将方程 $\text{[math]}$ 转化为一元二次方程，得；

（2）解方程： $\text{[math]}$ ．

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24. 解方程： $\text{[math]}$ ．
解：设 $\text{[math]}$ ，则原方程变为： $\text{[math]}$ ，解得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
∴原方程的解为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
上面解方程的方法简称换元法．
请利用上述方法，解方程：

（1） $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ ．

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25. 已知多项式乘法（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.
【示例】分解因式：x²+5x+6=x²+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）.

（1）【尝试】分解因式：x²+6x+8=（x+）·（x+）.

（2）【应用】请用上述方法解方程.
①x²+5x+6=0；
②x²-3x-4=0

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26. 先阅读，再解答下列问题.
已知（a²+b²）-8（a²+b²）²+16=0，求a²+b²的值.

错解：设（a²+b²）²=m，

则原式可化为m²-8m+16=0，

即（m-4）²=0，解得m=4.

由（a²+b²）²=4，得a²+b²=±2

（1）上述解答过程错在哪里？为什么？

（2）请你用上述方法分解因式：（a+b）²-14（a+b）+49

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27. 阅读材料：
为解方程 $\text{[math]}$ ，我们可以将 $\text{[math]}$ 看作一个整体，设 $\text{[math]}$ ，那么原方程可化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，故原方程的根为 $\text{[math]}$

（1）请你仿照上述方法解方程： $\text{[math]}$ .

（2）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且 $\text{[math]}$ ，则这个直角三角形的斜边长为

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28. 换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组 $\text{[math]}$ ，按常规思路解方程组计算量较大．可设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么方程组可化为 $\text{[math]}$ ，从而将方程组简单化，解出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值后，再利用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 解出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值即可．用上面的思想方法解方程：

（1） $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$

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29. 阅读下列材料：为解方程x⁴-x²-6=0，可将方程变形为(x²)²-x²-6=0，然后设x²=y，则(x²)²=y² ，原方程化为y²-y-6=0①，解①得y₁=-2，y₂=3．当y₁=-2时，x²=-2无意义，舍去；当y₂=3时，x²=3，解得x=± $\text{[math]}$ ……原方程的解为x₁= $\text{[math]}$ ， x₂= $\text{[math]}$ ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题转化成简单的问题．

（1）利用以上学习到的方法解下列方程：
①(x²-2x)2-5x²+ 10x+6=0；
②3x²+15x+2 $\text{[math]}$ =2．

（2）如果(m²+n²-1)(m²+n²+2)=4，求m²+n²的值

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破6 一元二次方程的特殊解法

一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

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