山东省泰安市2021届高三数学考前冲刺卷试卷

1. 集合 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . ±1 B . ±2 C . ±3 D . ±4

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设函数 $\text{[math]}$ 是定义在R上的偶函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（）

A . 0.49 B . 0.73 C . 0.79 D . 0.91

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5. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $\text{[math]}$ .它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\text{[math]}$ 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比 $\text{[math]}$ 从1000提升到16000，则C大约增加了(附： $\text{[math]}$ )（）

A . 21% B . 32% C . 43% D . 54%

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6. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是（）

A . 5×1010×2021 B . 5×1010×1011 C . 5×1011×2021 D . 5×1011×2020

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7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当阳马 $\text{[math]}$ 的体积最大时，堑堵 $\text{[math]}$ 中异面直线 $\text{[math]}$ 所成角的大小是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知拋物线 $\text{[math]}$ 上有两点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，以 $\text{[math]}$ 为邻边的四边形为矩形，且点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值为4，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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9. 双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节，已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
时间代号 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5
成交额 $\text{[math]}$ (万元)	50	60	70	80	100

若 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回片方程为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是108万元 C . $\text{[math]}$ D . 预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是120万元

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10. 下列关于函数 $\text{[math]}$ 的说法正确的是（）

A . 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . 最小正周期是 $\text{[math]}$ C . 图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称 D . 图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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11. 如图，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为圆心且与边 $\text{[math]}$ 相切的圆上，则（）

A . 点 $\text{[math]}$ 所在圆的半径为2 B . 点 $\text{[math]}$ 所在圆的半径为1 C . $\text{[math]}$ 的最大值为14 D . $\text{[math]}$ 的最大值为16

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点到其一条渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率是.

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14. 如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为 $\text{[math]}$ ，高为8，铁桶盖的最大张角为 $\text{[math]}$ ，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大表面积为.

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15. 已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A ， B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为.

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16. 在一个三角形 $\text{[math]}$ 中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足 $\text{[math]}$ ，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在 $\text{[math]}$ 外作等边 $\text{[math]}$ ，再作 $\text{[math]}$ 的外接圆，则外接圆与线段 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 即为费马点.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答
问题：设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 ▲ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 边上的中线长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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19. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了公路，脱贫后，为了了解A地到B地的公路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

（2）若由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差 $\text{[math]}$ ，请估计样本中这4000辆机动车车速不低于84.8千米/时的车辆数(精确到个位)；

（3）如果用该样本中4000辆机动车的速度情况，来估计经A地到B地的该公路上所有机动车的速度情况，现从经过该公路的机动车中随机抽取4辆，设车速低于84.8千米/时的车辆数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ (精确到0.001).
附：随机变量： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到它的左､右焦点 $\text{[math]}$ 的距离之和为4，且 $\text{[math]}$

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，证明 $\text{[math]}$ 有且仅有两个零点.

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山东省泰安市2021届高三数学考前冲刺卷试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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