北京市海淀区2021届高三下学期数学期中考试试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D .

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2. 如图，在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点为 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 1 B . -1 C . 2 D . -2

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3. 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 为其前 $\text{[math]}$ 项和.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -5 B . -4 C . -3 D . -2

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4. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为12，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . -2 C . 1 D . -1

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5. 函数① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 中，周期是 $\text{[math]}$ 且为奇函数的所有函数的序号是（）

A . ①② B . ② C . ③ D . ②③

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . -1 C . 1 D . 3

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是单位向量， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ 是等边三角形”是“直线 $\text{[math]}$ 的斜率为0”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. 设无穷等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为递减数列 B . $\text{[math]}$ 为递增数列 C . 数列 $\text{[math]}$ 有最大项 D . 数列 $\text{[math]}$ 有最小项

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10. 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为 $\text{[math]}$ 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为 $\text{[math]}$ 的平面为 $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 截牟合方盖所得截面的面积为 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的图象是（）

A . B . C . D .

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线的斜率为2，则数 $\text{[math]}$ 的值是.

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12. 设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为.

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13. 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足方程组 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的一个值是.

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14. 对平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的两组点，如果存在一条直线 $\text{[math]}$ 使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线 $\text{[math]}$ ，记所有的点到 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为 $\text{[math]}$ ，约定： $\text{[math]}$ 越大，分类直线 $\text{[math]}$ 的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用 $\text{[math]}$ (单位：百元)和网购图书的费用 $\text{[math]}$ (单位：百元)的情况如图所示，现将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为第Ⅰ组点.将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 归为第Ⅱ点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为 $\text{[math]}$ .给出下列四个结论：

①直线 $\text{[math]}$ 比直线 $\text{[math]}$ 的分类效果好；

②分类直线 $\text{[math]}$ 的斜率为2；

③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于 $\text{[math]}$ 的同侧；

④如果从第Ⅰ组点中去掉点 $\text{[math]}$ ，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是 $\text{[math]}$ .

其中所有正确结论的序号是.

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15. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为边的矩形的顶点，则 $\text{[math]}$ .

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16. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）求 $\text{[math]}$ 的长.

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17. 在如图所示的多面体中， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）设平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小确定，并求此二面角的余弦值.
条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；条件③：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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18. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在 $\text{[math]}$ 内的学生人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列；

（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“ $\text{[math]}$ ”表示这20名学生中恰有 $\text{[math]}$ 名学生日平均阅读时间在 $\text{[math]}$ (单位：小时)内的概率，其中 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 最大时，写出 $\text{[math]}$ 的值.(只需写出结论)

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）判断函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性，并说明理由；

（2）求证：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有且只有一个极值点；

（3）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值.

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率；

（2）设椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ 不与椭圆 $\text{[math]}$ 的顶点重合），直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点.

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21. 已知无穷数列 $\text{[math]}$ ，对于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 同时满足以下三个条件，则称数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ .条件①： $\text{[math]}$ ；条件②：存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值和一个 $\text{[math]}$ 的值；

（2）是否存在具有性质 $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ ？若存在，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；若不存在，说明理由；

（3）设数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，且各项均为正整数，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.

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北京市海淀区2021届高三下学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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