山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

1. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 1 B . -1 C . i D . -i

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2. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ = （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. m、n是平面 $\text{[math]}$ 外的两条直线，在m∥ $\text{[math]}$ 的前提下，m∥n是n∥ $\text{[math]}$ 的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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5. 函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ 表示不超过实数 $\text{[math]}$ 的最大整数，若函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的零点是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. 《几何原本》卷II的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点 $\text{[math]}$ 在半圆 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在直径 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该图形可以直接完成的无字证明为（）

A . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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8. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 均为常数），且 $\text{[math]}$ .设函数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 7 D . 13

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9. 在数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），则称 $\text{[math]}$ 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 不可能为 $\text{[math]}$ B . “等差比数列”中的项不可能为 $\text{[math]}$ C . 等差数列一定是“等差比数列” D . 等比数列一定是“等差比数列”

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10. 函数 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 总有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的减函数 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是奇函数 D . 若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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11. 四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 则下列表示正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值是4 B . $\text{[math]}$ 的最大值是4 C . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$

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13. 在中国古代的音乐理论中，“宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后，其余的音阶可采用“三分损益法”生成.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为 $\text{[math]}$ ，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为 $\text{[math]}$ ，能发出第三个基准音的乐器的长度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到 $\text{[math]}$ 个，称为“十二律”.若能发出第六个基准音的乐器的长度为 $\text{[math]}$ ，那么能发出第四个基准音的乐器的长度为.

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14. 已知单位向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为.

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15. 如图所示，一块长为5m，宽为3m缺一角 $\text{[math]}$ 的长方形木板， $\text{[math]}$ 是直线段.木工师傅想要在 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处作 $\text{[math]}$ 延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此线.请帮忙在 $\text{[math]}$ 边上找到一点 $\text{[math]}$ ，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时 $\text{[math]}$ 的长度为m.

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16. 如图，设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为

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17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中.若问题中的 $\text{[math]}$ 存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等比数列，设前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 ▲ ， ▲ ，且 $\text{[math]}$ .是否存在大于 $\text{[math]}$ 的正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成等比数列？

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

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18. 将函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 后得到 $\text{[math]}$ 图象，已知 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，该图象与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为最高点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式，并求出 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的递增区间；

（2）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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19. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值域；

（2）若 $\text{[math]}$ 为偶函数，求方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的解.

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20. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 均为正整数）时，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的所有可能的乘积 $\text{[math]}$ 之和.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）讨论 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性；

（2）判断 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上零点的个数，并给出证明.

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山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

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