上海市实验学校2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

1. “两条直线的斜率乘积为-1”是“两条直线互相垂直”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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2. 已知点M（a，b）在圆O：x²+y²=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（　　）

A . 相切 B . 相交 C . 相离 D . 不确定

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3. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： $\text{[math]}$ 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 $\text{[math]}$ ；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是

A . ① B . ② C . ①② D . ①②③

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4. 已知 $\text{[math]}$ 是平面内的三个单位向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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5. 过点 $\text{[math]}$ 且法向量为 $\text{[math]}$ 的直线方程是

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6. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影是

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7. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是

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8. 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是

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9. 已知方程 $\text{[math]}$ 表示一个圆的充要条件是

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10. 圆心在直线y=-x+1上，且与直线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ 的圆的方程是

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11. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 有交点，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 的取值范围是

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12. 已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ 的方程为．

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13. 在△ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为△ $\text{[math]}$ 内（包括边界）任意一点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为

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14. 若恰有三组不全为0的实数对 $\text{[math]}$ 满足关系式 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的所有可能的值为

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，且向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不共线.

（1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（2）若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的钝角，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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16. 已知△ $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线所在直线的方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线所在直线的方程为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 点坐标；

（2）求 $\text{[math]}$ 边所在的直线方程.

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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点O为 $\text{[math]}$ 所在平面上一点，满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；

（2）若点O为 $\text{[math]}$ 的重心，求m、n的值；

（3）若点O为 $\text{[math]}$ 的外心，求m、n的值．

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18.

（1）已知直线l过点 $\text{[math]}$ ，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的一般式方程；

（2）已知直线l过点 $\text{[math]}$ 且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，求 $\text{[math]}$ 面积最小值及这时直线l的一般式方程；

（3）已知直线l经过点 $\text{[math]}$ ，且与第一象限的平分线 $\text{[math]}$ ，y轴（原点除外）分别交于A，B两点，直线l，射线 $\text{[math]}$ ，y轴围成的三角形 $\text{[math]}$ 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由.

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19. 已知曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都过点 $\text{[math]}$ 且互相垂直，若曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的至少一条相交，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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20. 设 $\text{[math]}$ ，过两定点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别引直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使与抛物线 $\text{[math]}$ 有四个不同的交点．当这四点共圆时，求这种直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 的轨迹．

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上海市实验学校2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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