2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第三次调研考试数学试题

修改时间：2024-07-13 浏览次数：216 类型：高考模拟编辑

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一、填空题

1. 已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A $\text{[math]}$ B＝．

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2. 设复数z满足(3﹣i)z＝ $\text{[math]}$ ，其中i为虚数单位，则z的模是．

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3. 如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．

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4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是．

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5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果, 功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是.

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6. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y²＝4x的准线是双曲线 $\text{[math]}$ (a＞0)的左准线,则实数a的值是．

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为锐角，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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8. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V₁ ，正方体的体积为V₂ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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9. 已知x＞1，y＞1，xy＝10，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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10. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ,若 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 成等差数列,且 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ 的值是．

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11. 海伦（Heron ，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a ， b ， c计算其面积的公式S_△ABC＝ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．

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12. 如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA ， CB ， AC到点D ， E ， F ，使得AD＝BE＝CF ．若 $\text{[math]}$ ，且DE＝ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是．

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14. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，﹣6)作直线交圆O：x²＋y²＝16于A ， B两点， C( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )为弦AB的中点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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二、解答题

15. △ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ．若 $\text{[math]}$ ．

（1）求cosC的值；

（2）若A＝C ，求sinB的值．

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16. 如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC⏊BC ， D ， E分别是A₁B₁ ， BC的中点．求证：

（1）平面ACD⊥平面BCC₁B₁；

（2） B₁E∥平面ACD ．

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17. 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm ， 2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O ， A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧 $\text{[math]}$ 所围成的弓形面积为S₁ ， △OAB与△OAC的面积之和为S₂ ，设∠BOC＝2 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求S₂﹣S₁的值；

（2）经研究发现当S₂﹣S₁的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos $\text{[math]}$ 的值．（求导参考公式：(sin2x)'＝2cos2x ， (cos2x)'＝﹣2sin2x）

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\text{[math]}$ (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₂的直线交椭圆于M ， N两点．已知椭圆的短轴长为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线MN的斜率为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t ， 0)，求实数t的取值范围．

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19. 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的无穷数列，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ (n $\text{[math]}$ )，其中常数k为正整数．

（1）设数列 $\text{[math]}$ 前n项的积 $\text{[math]}$ ，当k＝2时，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差d为整数的等差数列，且 $\text{[math]}$ ＝4，求数列 $\text{[math]}$ 的前2020项的和；

（3）若 $\text{[math]}$ 是等比数列，且对任意的n $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中k≥2，试问： $\text{[math]}$ 是等比数列吗？请证明你的结论．

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中e是自然对数的底数．

（1）若函数 $\text{[math]}$ 的极大值为 $\text{[math]}$ ，求实数a的值；

（2）当a＝e时，若曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线互相垂直，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ＞0对任意的x $\text{[math]}$ (0，1)恒成立，求实数a的取值范围．

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21. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是矩阵 $\text{[math]}$ 的一个特征向量，求M的逆矩阵 $\text{[math]}$ ．

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22. 在极坐标系中，圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ .以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数）．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．

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23. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
求证： $\text{[math]}$ ．

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24. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有 $\text{[math]}$ 把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．

（1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ ；

（2）求恰好成功打开4扇门的概率．

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25. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线与x轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A、B两点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴相交N两点，当 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的方程；

（2）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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一、填空题

二、解答题

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