小题精练12 有界磁场磁聚焦平移圆放缩圆旋转圆问题-备考2025年高考物理题型突破讲练

1. 如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t₁时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t₂时间从a、b连线的中点c离开磁场，则 $\text{[math]}$ 为（　　）

A . 3 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（ $\text{[math]}$ ）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（　　）

A . 若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B . 若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 C . 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 D . 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

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3. 如图所示，平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ、Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为m，带电量为q的粒子由第Ⅱ象限中的 $\text{[math]}$ 点，以速度 $\text{[math]}$ 平行于x轴正方向射出，恰好由坐标原点O射入磁场。若不计粒子重力，求：

（1）电场强度E的大小；

（2）若粒子经过磁场偏转后，回到电场中又恰好能经过P点，求磁感应强度的大小；

（3）粒子从P点出发回到P所用时间。

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4. 如图甲所示，在水平面内建立xOy坐标系， $\text{[math]}$ 区域内有竖直向上的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q的带负电荷的粒子，从x轴上的P点以垂直于磁场的速度v射入第一象限，从y轴上某点垂直于y轴射出磁场区域。已知速度v与x轴正方向的夹角 $\text{[math]}$ ，不计粒子的重力，P点与原点O之间的距离为a。
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）若将粒子速度的大小改为 $\text{[math]}$ ， θ角可变，求粒子在磁场中运动的最短时间。
（3）如图乙所示，过O点竖直向上建立z轴，速度大小为v的粒子从P点斜向上射入磁场，速度方向在xOy平面内的投影沿PD方向，PD与x轴正方向夹角为 $\text{[math]}$ ，若使粒子恰好不离开磁场，求粒子经过yoz平面时的坐标。

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5. 如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度 $\text{[math]}$ 垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为 $\text{[math]}$ ，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是（）

A . 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d B . 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为 $\text{[math]}$ C . 带电粒子在匀强磁场中运动的时间为 $\text{[math]}$ D . 匀强磁场的磁感应强度大小为 $\text{[math]}$

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6. 医院中X光检测设备的核心器件为X射线管。如图所示，在X射线管中，电子（质量为m、电荷量为-e，初速度可以忽略）经电压为U的电场加速后，从P点垂直磁场边界水平射入匀强磁场中。磁场宽为2L，磁感应强度大小可以调节。电子经过磁场偏转后撞击目标靶，撞在不同位置就会辐射出不同能量的X射线。已知水平放置的目标靶 $\text{[math]}$ 长为2L， $\text{[math]}$ 长为L，不计电子重力、电子间相互作用力及电子高速运行中辐射的能量。

（1）求电子进入磁场的速度大小；

（2）调节磁感应强度大小使电子垂直撞击在目标靶上，求电子在磁场中运动的时间；

（3）为使辐射出的X射线能量范围最大，求磁感应强度的大小范围。

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7. 如图所示， $\text{[math]}$ 为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内（含边界）处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。一质量为m、电荷量为q（ $\text{[math]}$ ）的粒子，从a点沿ab方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　）

A . 粒子能通过cd边的最短时间 $\text{[math]}$ B . 若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度 $\text{[math]}$ C . 若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度 $\text{[math]}$ D . 若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度 $\text{[math]}$

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8. 如图所示，在矩形ABCD区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AD边长为L，AB边长为 $\text{[math]}$ 。一质量为m、带电荷量为q的正粒子从A点沿纸面以与AD成30°角的方向射入磁场，粒子在磁场中运动的轨迹恰好与CD相切，不计粒子所受的重力。

（1）求粒子射入磁场时的速度大小 $\text{[math]}$ ；

（2）求粒子在磁场中运动的时间t；

（3）若仅减小粒子射入磁场时的速度大小，求粒子在磁场中运动的最长时间 $\text{[math]}$ 。

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9. 如图，一边界平行的有界匀强磁场垂直纸面向外，一带正电荷的粒子以初速度 $\text{[math]}$ 在纸面内垂直磁场的边界射入匀强磁场中，离开磁场时速度方向偏转了 $\text{[math]}$ 角．已知匀强磁场的宽度为d，不计粒子的重力，则带电粒子在磁场中（）．

A . 做匀变速曲线运动 B . 向心加速度大小为 $\text{[math]}$ C . 运动的时间为 $\text{[math]}$ D . 受到的磁场力的冲量为0

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10. 如图所示，长为 $\text{[math]}$ 、宽为 $\text{[math]}$ 的长方形 $\text{[math]}$ 区域内充满垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 时刻，一位于长方形区域中心 $\text{[math]}$ 的粒子源在 $\text{[math]}$ 平面内向各个方向均匀发射大量带正电的同种粒子，所有粒子的初速度大小均相同（数值未知），粒子在磁场中做圆周运动的半径 $\text{[math]}$ ．测得平行于 $\text{[math]}$ 方向发射的粒子在 $\text{[math]}$ 时刻恰从 $\text{[math]}$ 边离开磁场，不计重力和粒子间相互作用，求：

（1）粒子的比荷 $\text{[math]}$ ；

（2）粒子在磁场中运动的最短时间 $\text{[math]}$ 和最长时间 $\text{[math]}$ （角度可用反三角函数表示，例如：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ）；

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11. 如图所示，半径为 $\text{[math]}$ 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条相互垂直的直径。在磁场内 $\text{[math]}$ 点有一放射源，能向各个方向以相同的速率射出相同的带电粒子，所有粒子均从 $\text{[math]}$ 之间射出磁场（ $\text{[math]}$ 点有粒子射出），已知粒子所带电荷量为 $\text{[math]}$ 、质量为 $\text{[math]}$ 。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（）

A . 粒子在磁场中运动的半径为 $\text{[math]}$ B . 粒子进入磁场时的速率为 $\text{[math]}$ C . 若仅将匀强磁场的磁感应强度大小变为 $\text{[math]}$ ，则粒子射出磁场边界的圆弧长度为 $\text{[math]}$ D . 若仅将粒子的速率变为 $\text{[math]}$ ，则所有粒子射出磁场时的方向都相同

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12. 如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向以初速度大小v（未知）射入磁场，粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为t，不计粒子的重力，则（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示。内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（）

A . 粒子1一定带正电 B . 若两粒子的比荷相同，则粒子1的入射速率小于粒子2的入射速率 C . 若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加 D . 改变粒子2入射方向，速率变为原来的 $\text{[math]}$ ，则粒子2在磁场中运动的最长时间为t

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14. 如图所示，以 $\text{[math]}$ 为圆心，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B， $\text{[math]}$ 为一粒子源，能沿纸面内各个方向发射质量为m、带电量为 $\text{[math]}$ 、速度大小均为 $\text{[math]}$ 的粒子，下列说法正确的是（　　）

A . 发射速度方向沿 $\text{[math]}$ 的粒子在磁场中运动时间最长 B . 粒子在磁场中运动的最长时间为 $\text{[math]}$ C . 在磁场中运动时间为 $\text{[math]}$ （小于最长时间）的粒子有两种发射方向 D . 发射速度方向关于 $\text{[math]}$ 对称的粒子在磁场中运动的时间均相等

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15. 如图，Ⅰ为半径为R的匀强磁场区域，圆心为O，在圆心正下方S处有一粒子发射源，均匀地向圆内各方向发射质量为m，电荷量为q，速率为v₀的带正电粒子，每秒钟共N个，其中射向O点的粒子恰好从C点射出；Ⅱ为由平行板电容器形成的匀强电场区域，上极板带正电，下极板接地，极板长度为L，极板间距为2R，场强 $\text{[math]}$ ；Ⅲ为宽度足够的匀强磁场区域，磁感应强度与Ⅰ相同。在Ⅲ区域的右侧竖直固定有平行板电容器，右极板带正电，左极板接地，AB为左极板上长度为 $\text{[math]}$ 的窄缝（窄缝不影响两极板间电场），电容器两极板电压为 $\text{[math]}$ ， O、C、A三点连线过Ⅱ区域轴线，不计粒子重力，各磁场方向如图所示，重力加速度为g。

（1） Ⅰ区域磁感应强度的大小。

（2）若在Ⅱ区域加匀强磁场可使射入的粒子做直线运动，求所加磁场磁感应强度的大小和方向。

（3）若Ⅱ区域加入（2）问中磁场，同时撤去Ⅲ区域磁场，粒子撞向电容器，已知打到极板上的粒子会被吸收，电容器两极板电压 $\text{[math]}$ ，求粒子对电容器的作用力大小。

（4）在Ⅱ区域的最右侧紧贴下极板放置长度为R的粒子收集板PQ，求每秒收集到的粒子数。

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16. 如图所示，空间有垂直于纸面的匀强磁场 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，磁感应强度大小均为0.1T， $\text{[math]}$ 分布在半径 $\text{[math]}$ 的圆形区域内，MN为过其圆心O的竖直线， $\text{[math]}$ 分布在MN左侧的半圆形区域外。磁场 $\text{[math]}$ 中有粒子源S，S与O的距离 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，某时刻粒子源S沿着纸面一次性向各个方向均匀射出一群相同的带正电粒子，每个粒子的质量 $\text{[math]}$ 、电量 $\text{[math]}$ 、速率 $\text{[math]}$ ，不计粒子之间的相互作用，求

（1）粒子在匀强磁场 $\text{[math]}$ 中运动的半径；

（2）能进入圆形区域的粒子所占的比率；

（3）最终射出圆形区域时速度方向与SO平行的粒子在磁场中运动的总时间。

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17. 如图，直角坐标系xOy中，第I象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第II、III象限中有两平行板电容器C₁、C₂ ，其中C₁垂直x轴放置，极板与x轴相交处存在小孔M、N；C₂垂直y轴放置，上、下极板右端分别紧贴y轴上的P、O点。一带电粒子从M静止释放，经电场直线加速后从N射出，紧贴C₂下极板进入C₂ ，而后从P点进入第I象限；经磁场偏转后恰好垂直x轴上的Q点离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为m、带电量为q，O、P间距离为d，C₁、C₂的板间电压大小均为U，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：

（1）粒子经过N时的速度大小；

（2）粒子经过P时速度方向与y轴正向的夹角；

（3）磁场的磁感应强度大小；

（4）粒子从N经P到Q点运动的时间t。

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18. 如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知 $\text{[math]}$ ，粒子带负电，粒子所受重力及粒子间的相互作用均不计，则（　　）

A . 粒子的速度大小为 $\text{[math]}$ B . 从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为7：4 C . 沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为 $\text{[math]}$ D . 从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为 $\text{[math]}$

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19. 如图所示的xOy坐标系中，第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场，电场强度 $\text{[math]}$ ；第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，其沿x轴方向的宽度为OA，沿y轴负方向宽度无限大，磁感应强度 $\text{[math]}$ 。现有一比荷为 $\text{[math]}$ 的正离子（不计重力），以速度 $\text{[math]}$ 从O点射入磁场，与x轴正方向夹角α=60°，离子通过磁场后刚好从A点射出，之后进入电场。

（1）求OA宽度等于多少？

（2）从O点开始，经多长时间粒子第二次到达x轴（答案可以用根号和π表示）；

（3）若离子进入磁场后，某时刻再加一个同方向的匀强磁场使离子做完整的圆周运动，求所加磁场磁感应强度的最小值。

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20. 如图所示，平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中第一、二、四象限内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场。第一、四象限内磁场方向垂直纸面向里，第二象限内磁场方向垂直纸面向外。第三象限存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（ $\text{[math]}$ ）的粒子甲从点 $\text{[math]}$ 以一定初速度释放，初速度方向与x轴正方向的夹角为 $\text{[math]}$ ，从点 $\text{[math]}$ 垂直y轴进入第四象限磁场区域，然后从 $\text{[math]}$ 点垂直x轴进入第一象限，同时在p点释放一质量为 $\text{[math]}$ 、电量为q（ $\text{[math]}$ ）、速度为 $\text{[math]}$ 的带电粒子乙，且速度方向垂直于x轴向上。不计粒子重力及甲乙两粒子间的相互作用，求：
（1）甲粒子进入第四象限时的速度 $\text{[math]}$ ；
（2）匀强电场的大小E；
（3）粒子甲第n次经过y轴时，甲乙粒子间的距离d；
（4）当甲粒子第一次经过y轴时在第二象限内施加一沿x轴负方向、电场强度大小与第三象限电场相同的匀强电场，求甲粒子的最大速度 $\text{[math]}$ 。

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21. 如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，比荷不同的两个粒子a、b（不计重力）以相同的速度沿AB方向射入磁场，并分别从AC边上的PQ两点射出，a粒子的比荷是b粒子比荷的一半，则( )

A . 从Q点射出的粒子的向心加速度小 B . 从P点和Q点射出的粒子动能一样大 C . a、b两粒子带异种电荷 D . a、b两粒子在磁场中运动的时间不同

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22. 真空中直角三角形ABC 区域内（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B，AB边长度为d，∠B的大小 $\text{[math]}$ 。在BC的中点有一粒子源，能持续地沿平行BA方向发射比荷为k、速率不同的正粒子，如图所示，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求：
（1）粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）从AB边射出的粒子的速率范围。

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23. 如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是（　　）

A . 若该粒子的入射速度为v= $\text{[math]}$ ，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l B . 若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v= $\text{[math]}$ C . 若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v= $\text{[math]}$ D . 当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为 $\text{[math]}$

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24. 真空中直角三角形ABC 区域内（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B，AB边长度为d，∠B的大小θ=60°。在 BC 的中点有一粒子源，能持续地沿平行BA方向发射比荷为k、速率不同的正粒子，如图10所示，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求：

（1）粒子在磁场中运动的最长时间；

（2）从AB边射出的粒子的速率范围。

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25. 如图所示，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处有一粒子源，沿与 $\text{[math]}$ 平行的方向发射速率不同，质量为 $\text{[math]}$ ，电荷量为 $\text{[math]}$ 的带负电粒子，已知这些粒子都能从 $\text{[math]}$ 边离开 $\text{[math]}$ 区域， $\text{[math]}$ ，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　）

A . 速度的最大值为 $\text{[math]}$ B . 速度的最大值为 $\text{[math]}$ C . 在磁场中运动的最长时间为 $\text{[math]}$ D . 在磁场中运动的最长时间为 $\text{[math]}$

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26. 某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形 $\text{[math]}$ 、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界 $\text{[math]}$ 水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界 $\text{[math]}$ 竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为 $\text{[math]}$ ，探测板 $\text{[math]}$ 的宽度为 $\text{[math]}$ ，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。

（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界 $\text{[math]}$ 时与H点的距离s；

（2）求探测到三束离子时探测板与边界 $\text{[math]}$ 的最大距离 $\text{[math]}$ ；

（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到 $\text{[math]}$ 距离L的关系。

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27. 如图，平行的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间（含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，点P处有一离子源，离子源能够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于 $\text{[math]}$ 的正、负离子，离子运动一段时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从边界 $\text{[math]}$ 射出的离子，离子速度为 $\text{[math]}$ 时射出点与P点距离最大为 $\text{[math]}$ ，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用。求：

（1）射出点与P点最大距离 $\text{[math]}$ ；

（2）从边界 $\text{[math]}$ 射出的离子，速度的最大值。

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28. 如图所示，直角三角形ABC区域内（含边界）存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，顶点A处有一离子源，沿AC方向同时射出一群速度大小不同的正离子，离子的质量均为m、电荷量均为q ，已知 $\text{[math]}$ ， BC边长为L ，不计离子的重力及离子间的相互作用力，则下列说法正确的是( )

A . 从AB边界射出的离子，一定同时平行射出 B . 从BC边界射出的离子在磁场中运动的时间均不小于 $\text{[math]}$ C . 从BC边界射出的离子的速度均不小于 $\text{[math]}$ D . 当某离子垂直于BC边界射出时，磁场中的所有离子都在与AB边界成15°角的一条直线上

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29. 如图所示，MN是半径为R的圆形磁场区域的直径，MN上方存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，MN下方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。在M点有一质量为m、电荷量为 $\text{[math]}$ 的离子源，离子从N点射出时的速度大小不同，但方向均与磁场方向垂直且与MN成30°角。不计离子重力及离子间的相互作用，则从N点射出磁场的离子速度可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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30. 质谱仪的原理图如图所示，虚线 $\text{[math]}$ 上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 间有一苂光屏。同位素离子源产生电荷量相同的离子 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场， $\text{[math]}$ 恰好打在苂光屏 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 恰好打在 $\text{[math]}$ 点。不计离子重力。则（　　）

A . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 带负电荷 B . $\text{[math]}$ 的质量比 $\text{[math]}$ 的大 C . $\text{[math]}$ 在磁场中的运动速度比 $\text{[math]}$ 的大 D . $\text{[math]}$ 在磁场中的运动时间比 $\text{[math]}$ 的长

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31. 同位素分析仪如图（a）所示，感光胶片在x轴垂直纸面放置，取O为坐标原点，y轴垂直纸面向内。离子从离子源飘出，经加速电压U加速后沿直线进入磁感应强度为B的匀强磁场，经磁场偏转半个周期后离子打在放在OC的胶片上，使胶片曝光。两种离子的电荷量均为q，质量分别为m和 $\text{[math]}$ 。离子均匀进入加速电场的速度不计，加速电压为U。不考虑相对论效应及离子间的相互作用，不考虑电场变化产生的磁场。

（1）两种离子在胶片上感光位置的距离；

（2）若磁场的磁感应强度在 $\text{[math]}$ 范围内变化，能使两种离子在胶片上的痕迹能分开，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

（3）若在磁场区域加一个向内的匀强电场E，磁感应强度仍为B，离子源包含各种比荷的离子，这些离子在胶片上痕迹的曲线方程；

（4）对质量m、电量q的离子，加上图（b）和图（c）的电压和电场，离子在电场及磁场中运动的时间远小于电压的变化周期，求胶片上感光区域的面积，并判断感光区域内离子是否均匀打在上面。

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32. 如图所示，边长为L的等边三角形abc内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P是ab边的中点，一质量为m、电荷量为-Q（Q>0）的带电粒子在纸面内沿不同方向以不同速率v从P点射入磁场，当v=v₁时，平行于bc边射入的粒子从c点射出磁场。不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（）

A . 若粒子平行于bc边射入、垂直于bc边射出，则粒子在磁场中运动的半径为 $\text{[math]}$ B . 若粒子平行于bc边射入、从ab边射出，则速度越大的粒子在磁场中运动的时间越长 C . 当v=v₁时，平行于bc边射入、从c点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时改变粒子入射方向，从bc边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 $\text{[math]}$

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33. 如图所示，在正方形区域abcd内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．在t＝0时刻，位于正方形中心O的离子源向平面abcd内各个方向发射出大量带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形的边长，不计粒子的重力以及粒子间的相互作用力．已知平行于ad方向向下发射的粒子在t＝t₀时刻刚好从磁场边界cd上某点离开磁场，下列说法正确的是（）

A . 粒子在该磁场中匀速圆周运动的周期为6t₀ B . 粒子的比荷为 $\text{[math]}$ C . 粒子在磁场中运动的轨迹越长，对应圆弧的圆心角越大 D . 初速度方向正对四个顶点的粒子在磁场中运动时间最长

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34. 在如图所示的平面内，存在宽为 $\text{[math]}$ 的匀强磁场区域 $\text{[math]}$ 足够长、边界上有磁场 $\text{[math]}$ ，匀强磁场的磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ ，左侧边界上有一离子源 $\text{[math]}$ ，可以向纸面内各方向发射质量为 $\text{[math]}$ 、带电荷量 $\text{[math]}$ 、速度大小为 $\text{[math]}$ 的离子。不计离子受到的重力和空气阻力，下列说法正确的是（）

A . 离子在磁场中运动的最长时间为 $\text{[math]}$
B . 离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最短时间为 $\text{[math]}$
C . 离子从右侧边界离开磁场时，在磁场中运动的最长时间为 $\text{[math]}$
D . 离子从左侧边界离开磁场时，射入点与射出点间的最大距离为 $\text{[math]}$

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35. 如图所示，纸面内间距为 $\text{[math]}$ 的平行边界 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上有一粒子源 $\text{[math]}$ ，可在纸面内沿各个方向均匀向磁场中射入质量均为 $\text{[math]}$ ，电荷量均为 $\text{[math]}$ 的带正电粒子，粒子射入磁场的速度大小均为 $\text{[math]}$ ，不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，则从 $\text{[math]}$ 边界射出的粒子数目与从 $\text{[math]}$ 边界射出的粒子数目之比为（）

A . $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$

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36. 如图所示，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 平面内，有一离子源沿 $\text{[math]}$ 轴正方向发射出大量速率均为 $\text{[math]}$ 的同种正离子，这些离子均匀分布在离 $\text{[math]}$ 轴距离为 $\text{[math]}$ 的范围内，离子的质量为 $\text{[math]}$ ，电荷量为 $\text{[math]}$ 。在离子源右侧有一圆形磁场区域Ⅰ，其圆心 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ ，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ （未知）。在 $\text{[math]}$ 无限大区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场II，磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ （未知），已知 $\text{[math]}$ 。 $\text{[math]}$ 为离子收集板， $\text{[math]}$ 点位置坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴。若离子群经过磁场Ⅰ后均从 $\text{[math]}$ 点进入磁场Ⅱ，其中从离子源最上方射出的离子经过磁场Ⅰ偏转后恰好从 $\text{[math]}$ 点沿 $\text{[math]}$ 轴负方向射入磁场Ⅱ，离子打到收集板上即刻被吸收，不考虑离子从磁场Ⅱ出去后的运动，不计收集板和离子间的作用。
（1）求 $\text{[math]}$ 的大小；
（2）若从 $\text{[math]}$ 点射出的离子恰好全部被收集板右侧吸收，求收集板的长度 $\text{[math]}$ ；
（3）若收集板的长度为 $\text{[math]}$ ，则被板右侧收集的离子数与所有射入磁场的离子数的比值为多大？

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37. 某种离子收集装置的简化模型如图所示，x轴下方半径为R的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小B₁=B ，圆心所在位置坐标为（0，-R）。在x轴下方有一线性离子源，沿x轴正方向发射出N个（大量）速率均为v₀的同种离子，这些离子均匀分布在离x轴距离为0.2R~1.8R的范围内。在x轴的上方，存在方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，该磁场上边界与x轴平行，磁感应强度大小B₂=2B。在x轴整个正半轴上放有一厚度不计的收集板，离子打在收集板上即刻被吸收。已知离子源中指向圆心O₁方向射入磁场B₁的离子，恰好从O点沿y轴射出。整个装置处于真空中，不计离子重力，不考虑离子间的碰撞和相互作用。

（1）求该种离子的电性和比荷 $\text{[math]}$ ；

（2）若x轴上方的磁场宽度d足够大，发射的离子全部能被收集板收集，求这些离子在x轴上方磁场中运动最长和最短时间差∆t ，以及离子能打到收集板上的区域长度L；

（3）若x轴上方的有界磁场宽度d可改变（只改变磁场上边界位置，下边界仍沿x轴），请写出收集板表面收集到的离子数n与宽度d的关系。

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38. 如图所示是科学仪器中广泛应用的磁致离子偏转技术原理图.位于纸面的xOy平面内 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两条直线间存在着垂直纸面向内的匀强磁场.原点O处的离子源能沿纸面发射质量为 $\text{[math]}$ ，电荷量为 $\text{[math]}$ 的正离子.其中向第一象限且与x轴正向成37°发射的速度大小为 $\text{[math]}$ 的离子，刚好从A点（0，20cm）射出磁场，不计重力， $\text{[math]}$ .

（1）求该离子从A点射出磁场时的速度方向及匀强磁场的磁感应强度大小；

（2）若离子源向与x轴正向最大夹角为37°范围内发射离子，且所有离子都不离开磁场，求其发射的离子最大速度 $\text{[math]}$ 及最大速度离子可以到达的磁场区域面积S；

（3）若磁场布满整个空间且磁场区域充满空气，使进入磁场的离子受到与速度大小成正比、方向相反的阻力.离子源沿x轴正向持续发射速度为 $\text{[math]}$ 的离子，单位时间发射离子数为 $\text{[math]}$ ，这些离子均经过A点.若在A点沿y轴放一小块离子收集板以收集所有射到A点的离子，不考虑离子间的相互作用，求离子束对收集板的作用力沿x轴方向分力的大小.

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39. 如图所示，半圆形粒子源均匀地产生质量为m、电荷为 $\text{[math]}$ 的粒子。粒子源的电势为U，在粒子源中心放置一接地的粒子接收器P，粒子通过接收器后将会进入到垂直纸面向内的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。磁场的右边界 $\text{[math]}$ 与左边界 $\text{[math]}$ 平行且无限长，磁场宽度为 $\text{[math]}$ ，右边界的 $\text{[math]}$ 段覆盖有粒子吸收膜，可以吸收落在上面的粒子。右边界的 $\text{[math]}$ 段以及左边界都覆盖有弹性膜，当粒子与右边界 $\text{[math]}$ 段发生碰撞时，平行界面速度不变，垂直界面速度反向，且大小降为原来的 $\text{[math]}$ ；当粒子与左边界发生碰撞时，平行界面速度不变，垂直界面速度减为0。当粒子在弹性膜上静止时，就会沉降在弹性膜表面。（不计粒子重力）

（1）粒子源提供的粒子初速度为零，求粒子到达接收器P的速度v（未知）的大小；

（2）粒子源提供的粒子初速度为零，求粒子被吸收膜吸收的比例；

（3）若粒子源提供的粒子初速度可以任意调控，接收器只允许速度垂直于磁场边界的粒子通过，求初速度为 $\text{[math]}$ 运动的粒子最终停的位置。

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40. 光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（）

A . 粒子的运动轨迹可能通过圆心O B . 最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C . 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D . 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线

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41. 如图所示，是通过磁场控制带电粒子的一种模型。在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的区域内，分别存在磁感应强度均为B的匀强磁场，方向分别垂直纸面向里和垂直纸面向外。在坐标原点，有一粒子源，连续不断地沿x轴正方向释放出质量为m，带电量大小为q的带正电粒子，速率满足 $\text{[math]}$ （不考虑粒子的重力、粒子之间的相互作用）试计算下列问题：
(1)求速率最小和最大的粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的半径大小 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
(2)求速率最小和最大的粒子从 $\text{[math]}$ 的边界射出时，两出射点的距离 $\text{[math]}$ 的大小；
(3)设粒子源单位时间内射出的粒子数目为n（设每种速率的粒子数目相同），在 $\text{[math]}$ 的区域加一个平行板电容器 $\text{[math]}$ ，且朝向出射粒子的一侧有小孔，孔的大小足以使所有的从 $\text{[math]}$ 边界射出的粒子都能进入开孔位置，在 $\text{[math]}$ 间加 $\text{[math]}$ 的电势差，射入的粒子有的原路返回，其它碰到N板的全被吸收，求稳定情况下，射向平行板电容器的粒子对电容器的作用力大小？（设孔的大小不影响电容器产生的电场，被吸收的粒子也不影响两极板的电势差）。

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42. 如图所示，矩形区域abcd平面内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ， ab边长为4L ， bc边长为L。在矩形中心O处有一粒子源，在平面内向各方向均匀发射出速度大小相等的带电粒子，粒子带电量均为+q ，质量均为m。若初速度平行于ab边的粒子离开磁场时速度方向偏转了60°角，不计粒子之间的相互作用及粒子重力，取 $\text{[math]}$ 。求

（1）粒子在磁场中运动的速度大小；

（2）粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间的比值；

（3）某时刻发射出的粒子中，当初速度方向平行于ab边的粒子离开磁场时，这些粒子中未离开磁场的粒子数与已经离开磁场的粒子数之比。

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43. 如图所示，一带电粒子以初速度v₀沿x轴正方向从坐标原点О 射入，并经过点P(a >0， b>0)。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从О到Р运动的时间为t₁ ，到达Р点的动能为E_k1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到Р运动的时间为t₂ ，到达Р点的动能为E_k2。下列关系式正确的是·（）

A . t₁< t₂ B . t₁> t₂ C . E_k1< E_k2 D . E_k1 > E_k2

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44. 探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直 $\text{[math]}$ 平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为 $\text{[math]}$ ；且各个方向均有速度大小连续分布在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的离子射出。已知速度大小为 $\text{[math]}$ 、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。

（1）求孔C所处位置的坐标 $\text{[math]}$ ；

（2）求离子打在N板上区域的长度L；

（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压 $\text{[math]}$ ；

（4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压 $\text{[math]}$ 与孔C位置坐标x之间关系式。

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45. 如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面.A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是( )

A . 若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出 B . 若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出 C . 若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45° D . 若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°

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46. 如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心 $\text{[math]}$ 连线与x轴平行，半圆与圆相切于Q点，QF垂直于x轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、 $\text{[math]}$ 的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到 $\text{[math]}$ 。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度 $\text{[math]}$ 沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响）

（1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R；

（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t；

（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小 $\text{[math]}$ ，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离 $\text{[math]}$ 。

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47. 现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，各区边界均垂直于x轴，O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m的粒子。如图，甲、乙平行于x轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 。甲到P点时，乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O点时，乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿＋x方向的匀强电场，电场强度大小 $\text{[math]}$ 。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。

（1）求磁感应强度的大小B；

（2）求Ⅲ区宽度d；

（3） Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴，电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为 $\text{[math]}$ ，其中常系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 已知、k未知，取甲经过O点时 $\text{[math]}$ 。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F与Δx间的关系式（不要求写出Δx的取值范围）

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48. 如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为 $\text{[math]}$ 、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板 $\text{[math]}$ 与正极板成 $\text{[math]}$ 倾斜放置，用于吸收打在其上的粒于，C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子， $\text{[math]}$ 长度为 $\text{[math]}$ ，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力 $\text{[math]}$ 。

（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板 $\text{[math]}$ 上，求电压的最小值 $\text{[math]}$ ；

（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（ $\text{[math]}$ ，H、S两点末在图中标出）、对于粒子靶在 $\text{[math]}$ 区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（ $\text{[math]}$ ）种能量的粒子，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。

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49. 如图所示，M和N为平行金属板，质量为m，电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后，从N上的小孔穿出，以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域，经D点穿出磁场，CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不计。

（1）判断粒子的电性，并求M、N间的电压U；

（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；

（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。

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50. 利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B₁的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B₂的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于 $\text{[math]}$ 处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。

（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v₁及其在磁场中的运动时间t；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求能到达 $\text{[math]}$ 处的离子的最小速度v₂；

（3）若 $\text{[math]}$ ，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 $\text{[math]}$ 范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。

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