上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

修改时间：2025-02-28 浏览次数：3 类型：期中考试编辑

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为.

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 在第象限．

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3. 已知平面上 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别是 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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4. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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5. 若 $\text{[math]}$ 为第二象限角， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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6. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量的坐标为.

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7. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ ．

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，满足以下三个条件：（1）函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ；（2）函数 $\text{[math]}$ 的图象关为直线 $\text{[math]}$ 对称；（3）函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是严格减函数.则函数 $\text{[math]}$ 的表达式为 $\text{[math]}$ .

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9. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形 $\text{[math]}$ 的边长为10，点 $\text{[math]}$ 在其边上运动，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. 已知 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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11. 设 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内恰有7个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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12. 若 $\text{[math]}$ 均为单位向量，下列结论中正确的是（填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
（4）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .

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二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第 13−14题每题4分，第 15−16题每题5分

13. 下列说法错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是非零向量且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的方向相同或者相反 D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是单位向量，则 $\text{[math]}$

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14. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若满足条件的三角形有且只有两个，则角 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 设 $\text{[math]}$ 是正整数，集合 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，集合 $\text{[math]}$ 元素的个数为（）

A . 1012 B . 1013 C . 2023 D . 2024

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16. 对于实数 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数，例如 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列3个命题4，真命题的个数为（）
（1）函数 $\text{[math]}$ 是周期函数；（2）函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称；（3）方程 $\text{[math]}$ 有2个实数根.

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题

17. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 方向相反，求实数 $\text{[math]}$ 的值.

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18. 已知向量 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；

（2）将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，直接写出函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

（3）求关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的解集．

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19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心 $\text{[math]}$ 距离水面的高度为 $\text{[math]}$ 米．设筒车上的桨个盛水简 $\text{[math]}$ 到水面的距离为 $\text{[math]}$ （单位：米）（在水面下则 $\text{[math]}$ 为负数）．若以盛水简 $\text{[math]}$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $\text{[math]}$ 与时少 $\text{[math]}$ （单位：秒）之少的关系为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，判断盛水筒 $\text{[math]}$ 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．

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20. 如图所示，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆优弧 $\text{[math]}$ 上的一个动点（含端点 $\text{[math]}$ ），记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，并设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为实数．

（1）求 $\text{[math]}$ 外接圆的直径；

（2）试将 $\text{[math]}$ 表示为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，并指出该函数的定义域；

（3）求 $\text{[math]}$ 为直径时， $\text{[math]}$ 的值．

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21. 对于定义域为R的函数 $\text{[math]}$ ，若存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为周期的周期函数，则称 $\text{[math]}$ 为“正弦周期函数”，且称 $\text{[math]}$ 为其“正弦周期”.

（1）判断函数 $\text{[math]}$ 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；

（2）已知 $\text{[math]}$ 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若 $\text{[math]}$ ，且存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）已知 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是周期函数.

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上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第 13−14题每题4分，第 15−16题每题5分

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题

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