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题型：解答题题类：难易度：困难

上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

对于定义域为R的函数 $\text{[math]}$ ，若存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为周期的周期函数，则称 $\text{[math]}$ 为“正弦周期函数”，且称 $\text{[math]}$ 为其“正弦周期”.

（1）、判断函数 $\text{[math]}$ 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；

（2）、已知 $\text{[math]}$ 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若 $\text{[math]}$ ，且存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）、已知 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是周期函数.

举一反三

函数f（x）=sin（﹣2x）的一个递增区间是（　　）

函数y=cos（x﹣ $\text{[math]}$ ）（x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ π]）的最大值是{#blank#}1{#/blank#}，最小值是{#blank#}2{#/blank#}．

设x，y∈R，则（3﹣4y﹣cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值为（）

函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜ $\text{[math]}$ ），则下列关于函数f（x）的说法中正确的是{#blank#}1{#/blank#}（写出所有正确的序号）

①函数f（x）的对称中心是（﹣ $\text{[math]}$ +2kπ，0）（k∈Z）

②函数f（x）的解析式是f（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）

③函数f（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上的最小值为 $\text{[math]}$ ；

④把函数f（x）图象上每一点的横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ 倍，纵坐标不变，所得函数的图象关于y轴对称．

函数f（x）=6cos² $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

已知对任意实数x，均有 $\text{[math]}$ ，写出一组满足条件的 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

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