2024年中考数学热点探究七以函数为背景的几何综合性问题

1. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第一象限，将直线 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移 $\text{[math]}$ 个单位.若平移后的直线与边 $\text{[math]}$ 有交点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图， $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 的对角线，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点P沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 $\text{[math]}$ 于点E，则 $\text{[math]}$ 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）

A . B . C . D .

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3. 如图， $\text{[math]}$ 的半径是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线，切点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知如图，反比例函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象分别经过正方形 $\text{[math]}$ 、正方形 $\text{[math]}$ 的顶点D、A ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积等于（）

A . 2 B . 3 C . 1 D . 5

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5. 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，阴影部分的面积 $\text{[math]}$ ；如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，阴影部分的面积 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S_△BDE的最大值是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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7. 如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 是原点，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上则顶点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=k/x上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位长度，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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9. 如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（）

A . 8 B . 4 $\text{[math]}$ C . 10 D . 8 $\text{[math]}$

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10. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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11. 若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一动点．
$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 的坐标为；
$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 的值最小时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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12. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为．

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13. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 当矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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14. 如图，点A ， B在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，点C ， D在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上， $\text{[math]}$ 轴，已知点A ， B的横坐标分别为2，4， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之差为1，则k的值为．

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15. 如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A ， D除外)，以CE为边作正方形CEFG ， EF与AB交于点H ，连接BE ， BF ， BG ．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是(填序号)．

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16. 如图①，在矩形ABCD中，AB=6， AD=10，点E在边BC上，且BE=4，动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒2个单位长度的速度运动．作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动、设点P的运动时间为t秒．(t>0)

（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为

（2）当点Q和点D重合时，求sin∠PQE；

（3）当点P在边AD上运动时， △PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；

（4）作点E关于直线PQ的对称点F ，连接PF、QF ，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．

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17. 如图①，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限的交点．

（1）求点B的坐标；

（2）点 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 在第一象限内的图象上有别于 $\text{[math]}$ 的另外一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，如果存在，请确定 $\text{[math]}$ 的长度，如果不存在，请说明理由．

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18. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．

（1）求证：四边形EDFG是正方形；

（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．

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19. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，也以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 竖直向上作匀速运动．连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点作圆，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）是否存在实数t ，使得线段 $\text{[math]}$ 的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（3）在点P ，点Q运动过程中，四边形 $\text{[math]}$ 的面积是否发生改变，如果变，请说明理由；如果不变，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

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20. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 $\text{[math]}$ 的矩形地块 $\text{[math]}$ 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 $\text{[math]}$ ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 $\text{[math]}$ ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．由矩形地块面积为 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，满足条件的 $\text{[math]}$ 可看成是反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，满足条件的 $\text{[math]}$ 可看成一次函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 $\text{[math]}$ 就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的交点坐标为 $\text{[math]}$ 和 ▲ ，因此，木栏总长为 $\text{[math]}$ 时，能围出矩形地块，分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；或 $\text{[math]}$ ▲ m ， $\text{[math]}$ ▲ m ．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．

（2）【类比探究】
若 $\text{[math]}$ ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．

（3）【问题延伸】
当木栏总长为 $\text{[math]}$ 时，小颖建立了一次函数 $\text{[math]}$ ．发现直线 $\text{[math]}$ 可以看成是直线 $\text{[math]}$ 通过平移得到的，在平移过程中，当过点 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 时的图象，并求出 $\text{[math]}$ 的值．

（4）【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长均不小于 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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21.

（1）【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 长为a，则正方形 $\text{[math]}$ 的周长为，面积为（都用含a的代数式表示）．

（2）【拓展·综合】如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点P是原点O的“正方形关联点”．若 $\text{[math]}$ ，则O、P的“关联正方形”的周长是 ▲ ；若点P在直线 $\text{[math]}$ 上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值是 ▲ ．

②如图2，已知点 $\text{[math]}$ ，点B在直线 $\text{[math]}$ 上，正方形 $\text{[math]}$ 是A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别记为a和b，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的顶点， $\text{[math]}$ ，点C在x轴上．将 $\text{[math]}$ 沿x轴水平向右平移a个单位得到 $\text{[math]}$ ， A ， B两点的对应点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰好落在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上．

（1）求a和k的值；

（2）作直线l平行于 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于M ， N ，若 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的面积比为 $\text{[math]}$ ，求直线l的函数表达式；

（3）在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q ，使得以P ， Q ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P ， Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 综合与实践
【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位的速度从 $\text{[math]}$ 点出发，在三角形边上沿 $\text{[math]}$ 匀速运动，到达点 $\text{[math]}$ 时停止，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系.

（1）【初步感知】如图1，当点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，
①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为.

（2）当点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，经探究发现 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式及线段 $\text{[math]}$ 的长.

（3）【延伸探究】若存在3个时刻 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对应的正方形 $\text{[math]}$ 的面积均相等.
① $\text{[math]}$ ▲；
②当 $\text{[math]}$ 时，求正方形 $\text{[math]}$ 的面积.

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24. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）理解应用：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），则点B的坐标为．

（2）综合探究：如图，已知抛物线y＝﹣x²+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，C，D两点在该抛物线上．若以A，B，C，D为顶点的四边形是垂等四边形．设点C的横坐标为m，点D的横坐标为n，且m＞n，求m的值．

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25. 用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED ，若∠BDE+∠C＝180°，则称DE为△ABC边BC的逆平行线．
如图2，已知△ABC中，AB＝AC ，过边AB上的点D作DE∥BC交AC于点E ，过点E作边AB的逆平行线EF ，交边BC于点F ．

（1）求证：DE是边BC的逆平行线．

（2）点O是△ABC的外心，连接CO ．求证：CO⊥FE ．

（3）已知AB＝5，BC＝6，过点F作边AC的逆平行线FG ，交边AB于点G ．
①试探索AD为何值时，四边形AGFE的面积最大，并求出最大值；
②在①的条件下，比较AD+BG ▲ AB大小关系．（“＜、＞或＝”）

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