解：①设FC＝x，BF＝6﹣x，S_四边形_AGFE＝y，

∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，

∴△FEC∽△ABC．

∴ $∴ {(\frac{F C}{A B})}^{2} = \frac{S_{△ E F C}}{S_{△ B A C}}$ ，

$∴ S_{△ E F C} = \frac{12}{25} x^{2}$ ，

同理可得 $S △ B F G = \frac{12}{25} (6 - x)^{2}$

∴y＝S_△_ABC﹣S_△_EFC﹣S_△_BFG＝12﹣ $\frac{24}{25} [x^{2} + (6 - x)^{2}]$ ＝﹣ $\frac{24}{25} (x - 3)^{2} + \frac{84}{25}$ ，

∴当x＝3时，有 $A D = \frac{7}{5}$ ，此时y有最大值，最大值为 $\frac{84}{25}$ ．

②在①的条件下 $C F = B F = 3 ，$ 连接DF，如图，

∵ $B F = C F ， ∠ B = ∠ C ， B D = C E ，$
∴ $△ B D F ≅ △ C E F (S A S) ，$
∴ $∠ B D F = ∠ C E F ， ∠ B F D = ∠ E F C ，$
∴ $∠ B F E = ∠ D F C ， ∠ A E F = ∠ A D F ，$
∵ $∠ A E F + ∠ B = 180 ° ， ∠ A + ∠ B F E = 180 ° ，$
∴ $∠ C + ∠ A D F = 180 ° ， ∠ A + ∠ D F C = 180 ° ，$
∴DF为AC边的逆平行线，
由题意得：点G与点D重合，
∴ $A D + B G = A B ，$
故答案为：=.

2024年中考数学热点探究七 以函数为背景的几何综合性问题

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