2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破7 配方法的应用

1. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x²﹣12x+14的值的范围．
解：2x²﹣12x+14=2（x²﹣6x）+14=2（x²﹣6x+3²﹣3²）+14
=2[（x﹣3）²﹣9]+14=2（x﹣3）²﹣18+14=2（x﹣3）²﹣4．
∵无论x取何实数，总有（x﹣3）²≥0，∴2（x﹣3）²﹣4≥﹣4．
即无论x取何实数，2x²﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数．
问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x²+12x+11的最值情况是（）

A . 有最大值﹣23 B . 有最小值﹣23 C . 有最大值23 D . 有最小值23

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2. 关于多项式﹣2x²+8x+5的说法正确的是（　　）

A . 有最大值13 B . 有最小值﹣3 C . 有最大值37 D . 有最小值1

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3. 代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 5 B . 1 C . 4 D . 没有最小值

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4. 小明和小林在探索代数式x²+ $\text{[math]}$ (x≠0)有没有最大（小）值时，小明做了如下探索：
∵x²+ $\text{[math]}$ +2-2 =(x+ $\text{[math]}$ )²-2≥-2，
∴小明的结论是x²+ $\text{[math]}$ 的最小值为-2
小林做了如下探索
∵x²+ $\text{[math]}$ -2+2 =(x- $\text{[math]}$ )²+2≥2，
小林的结论是x²+ $\text{[math]}$ 的最小值为2；则（）

A . 小明正确 B . 小林正确 C . 小明和小林都正确 D . 小明和小林都不正确

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5. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数，多项式 $\text{[math]}$ 展开后 $\text{[math]}$ 的一次项系数为 $\text{[math]}$ ，多项式 $\text{[math]}$ 展开后 $\text{[math]}$ 的一次项系数为 $\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正整数，则（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的最大值相等， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的最小值也相等 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的最大值相等， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的最小值不相等 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的最大值不相等， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的最小值相等 D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的最大值不相等， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的最小值也不相等

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6. 不论x，y取何值，代数式 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 总不小于-3 B . 总不大于-3 C . 总大于2 D . 总小于2

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7. 利用 $\text{[math]}$ 可求某些整式的最值．例如， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 知，当 $\text{[math]}$ 时，多项式 $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ．对于多项式 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，有最小值是．

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8. 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式 $\text{[math]}$ 的最值．
解： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ （分离常数项）
$\text{[math]}$ （提二次项系数）
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，代数式 $\text{[math]}$ 取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：

（1）求代数式 $\text{[math]}$ 的最值；

（2）关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ．求证：无论 $\text{[math]}$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根．

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9. [阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用．
例1：用配方法因式分解： $\text{[math]}$ ．
原式 $\text{[math]}$
例2：求 $\text{[math]}$ 的最小值．
解： $\text{[math]}$ ；
由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 的最小值为5．

（1） [类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： $\text{[math]}$ ；

（2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解： $\text{[math]}$ ；

（3）仿照例2的步骤，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（4）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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10. 阅读材料：形如 $\text{[math]}$ 的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解： $\text{[math]}$ ．

解：原式 $\text{[math]}$

      $\text{[math]}$

      $\text{[math]}$

      $\text{[math]}$

（二）用配方法求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值．

解：原式 $\text{[math]}$

      $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．

（1）若代数式 $\text{[math]}$ 是完全平方式，则常数k的值为；

（2）因式分解： $\text{[math]}$ ；

（3）用配方法求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值；

（4）拓展应用：
若实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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11. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a²＋6a＋8．
原式＝ a²＋6a＋9－1＝（a＋3）²－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a²－2ab＋2b²－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a²－2ab＋2b²－2b＋2＝a²－2ab＋b²＋b²－2b＋1＋1＝（a－b）²＋（b－1）²＋1；
∵（a－b）²≥0，（b－1）²≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：

（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a²＋10a＋；

（2）用配方法因式分解：a²－12a＋35．

（3）若M＝a²－3a+1，则M的最小值为；

（4）已知a²＋2b²＋c²－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为；

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12. 已知多项式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为任意实数），试比较多项式 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．（）

A . 无法确定 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.

（1）尝试(用“<”， “=”或“>”填空)：
①当x=1 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
②当x=0 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
③当 x=-2 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（2）归纳：若x 取任意实数， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的大小关系?试说明理由.

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14. 已知 $\text{[math]}$ 为任意实数)，则M，N的大小关系为（）

A . M<N B . M=N C . M>N D . 因为含有字母a，所以M，N的大小不能确定

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15. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中a为实数，则M与N的大小关系是（）

A . B . C . D . 不能确定．

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16. 已知3x﹣y＝3a²﹣6a+9，x+y＝a²+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是（）

A . x＞y B . x＝y C . x＜y D . x＞y、x＝y、x＜y都有可能

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17. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系为．

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18. 设A＝a+3，B＝a²﹣a+5，则A与B的大小关系是AB（填“＞，＝，＜”之一）

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19. 阅读下列材料：
材料一“a²≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
材料二我们在比较两个数或式的大小时常用“作差法”.
例如：若a-b>0，则a>b；a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b.
解决下列问题：

（1）填空： $\text{[math]}$ （x）²+（）

（2）已知 $\text{[math]}$ ，求x+y的值.

（3）比较代数式 $\text{[math]}$ 与2x-3的大小，并说明理由.

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20. 我们通常用作差法比较代数式大小.例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小.先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立.本题中因为M-N＝（2x+3）-（2x+1）＝2＞0，所以M＞N.

（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S₁；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S₂.用含a的代数式表示S₁＝， S₂＝（需要化简）.然后请用作差法比较S₁与S₂大小；

（2）已知A＝2a²﹣6a+1，B＝a²﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小.

（3）若M＝（a﹣4）² ， N＝16﹣（a﹣6）² ，且M＝N，求（a﹣4）（a﹣6）的值.

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21. 已知关于x的多项式 $\text{[math]}$ 的最大值为5，则m的值可能为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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22. 请同学们学习材料①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．解决以下问题： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 恒成立时， $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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23. 已知方程 $\text{[math]}$ 可以配方成 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 0 B . 1 C . -1 D . $\text{[math]}$

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24. 用配方法解一元二次方程3x²+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）²＝b的形式，则a+b的值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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25. 将一元二次方程x²﹣8x﹣5＝0化成（x+a）²＝b（a ， b为常数）的形式，则a ， b的值分别是（　　）

A . ﹣4，21 B . ﹣4，11 C . 4，21 D . ﹣4，﹣21

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26. 把方程 x²+6x -5 = 0化成 (x+m)²=n的形式，则 m+n的值为（）

A . 17 B . 14 C . 11 D . 7

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27. 已知 $\text{[math]}$ 则x+y的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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28.
试用配方法证明：代数式 $\text{[math]}$ 的值不小于3．

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29. 若实数x，y，z满足 $\text{[math]}$ 求证：x=y.

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30. 已知A=a+2，B=2a²-3a+10，求证：无论a为何值，A<B恒成立．

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31. 用配方法求证：代数式 $\text{[math]}$ 的值恒为正数．

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32. 已知在△ABC中，三边长a，b，c满足 a²+2b²+c²−2ab-2bc=0，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．

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33. （阅读材料）把形如ax²+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a²≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用.
例如：利用配方法将x²﹣6x+8变形为a（x+m）²+n的形式，并把二次三项式分解因式.

配方：x²﹣6x+8

＝x²﹣6x+3²﹣3²+8

＝（x﹣3）²﹣1

分解因式：x²﹣6x+8

＝（x﹣3）²﹣1

＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）

＝（x﹣2）（x﹣4）

（解决问题）根据以上材料，解答下列问题：

（1）利用配方法将多项式x²﹣4x﹣5化成a（x+m）²+n的形式.

（2）利用配方法把二次三项式x²﹣2x﹣35分解因式.

（3）若a、b、c分别是 $\text{[math]}$ ABC的三边，且a²+2b²+3c²﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断 $\text{[math]}$ ABC的形状，并说明理由.

（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x²+y²+4x﹣6y+15的值恒为正数.

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2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破7 配方法的应用

一、类型1 求多项式的最值

二、类型2 比较大小

三、类型3 求多项式的参数

四、类型4 利用非负数的性质求值或证明

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