备考2024年中考数学探究性训练专题1 数、式规律

修改时间：2024-03-11 浏览次数：103 类型：二轮复习编辑

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一、选择题

1. 观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…

1，4，7，10，13，16，19，22，25，…

探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）

A . 18 B . 19 C . 20 D . 21

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2. 观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x² ， 5x³ ， 7x⁴ ， 9x⁵ ， 11x⁶ ， ….按照上述规律，第2021个单项式是（　　）

A . 2021x²⁰²¹ B . 4041x²⁰²² C . 4041x²⁰²¹ D . 4043x²⁰²¹

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3. 在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按如下规律进行操作：第1次操作后得到3个整式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；第2次操作后得到4个整式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ……其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ……根据这个规律，探究可得点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.请你探究如图洛书三阶幻方中，奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，根据这一规律，求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 16 B . 8 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如果正整数a、b、c满足等式 $\text{[math]}$ ，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）

A . 47 B . 62 C . 79 D . 98

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7. 仔细观察，探究规律：
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

则算式 $\text{[math]}$ 值的个位数字为（）

A . 1 B . 3 C . 5 D . 7

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二、填空题

8. 小苗探究了一道有关分式的规律题， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，， $\text{[math]}$ ， …请按照此规律在横线上补写出第6个分式．

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9. 两小朋友在玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、…逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，…（这就是著名的斐波拉契数列），请你认真观察这一列数规律，探究一下，上11级台阶共有种上法.

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10. 观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
-2，4，-8，16，-32，64，…①
0，7，-4，21，-26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为.

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11. 下列是一些两位数减法运算：
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
观察上述算式及其计算结果，对两位数减法运算中的某种特殊情形进行探究：

（1）请另外写出一个符合上述规律的算式：；

（2）用字母表示你所观察到的规律．

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12. 小亮在计算 $\text{[math]}$ 的值时，把 $\text{[math]}$ 的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的 $\text{[math]}$ 的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把 $\text{[math]}$ 代入，结果还是25．则 $\text{[math]}$ 的值为．

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13. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为非零有理数，请你探究以下问题：

（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ 的最小值为．

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三、解答题

14. 发现：当两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．
验证：如， $\text{[math]}$ 能被4整除，请把3与1的积写成两个正整数的平方差；

探究：设“发现”中两个正整数分别为m，n，请论证“发现”中的结论正确．

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15. 小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＝5的过程.
解：设 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ＝m，与原方程相乘得：

（ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ）×（ $\text{[math]}$ ）＝5m，

x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，

∴ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ＝1，与原方程相加得：

（ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）＝5＋1，

2 $\text{[math]}$ ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根.

学习借鉴解法，解方程 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ＝1.

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16. 学习完数轴以后，喜欢探索的小聪在纸上画了一个数轴（如图所示），并进行下列操作探究：

（1）操作一：折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-4的点与表示的点重合．

（2）操作二：折叠纸面，使表示-3的点与表示1的点重合，回答以下问题：
表示2的点与表示的点重合；

（3）若数轴上A、B两点之间距离是a（a＞0）（A在B的左侧），且折叠后A、B两点重合．求A、B两点表示的数是多少？

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17. 探究题：阅读下列材料，规定一种运 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，再如 $\text{[math]}$ ，按照这种运算的规定，请解答下列问题：

（1） $\text{[math]}$ ．（只填结果）；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．（写出解题过程）

（3）若 $\text{[math]}$ 化简后是一个关于x的一元一次方程，求k的值．（写出解题过程）

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18. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道： $\text{[math]}$ ，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是 $\text{[math]}$ ，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用 $\text{[math]}$ 来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法 $\text{[math]}$ 现请你根据小明的说法解答：

（1） $\text{[math]}$ 的小数部分是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的整数部分是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

（2）已知 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是一个整数， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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19. 探究与应用
我们学习过（x-1）（x+1）＝x²-1，那么（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）计算结果呢？
完成下面的探究：

（1）（x-1）（x²+x+1）＝；

（2）（x-1）（x³+x²+x+1）＝；……

（3）（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）＝；

（4）应用：计算2+2²+2³+2⁴+……+2²⁰²² ．

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20. 探究题：

（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
归纳猜想：若多项式 $\text{[math]}$ 是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为．

（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．

（4）解决问题：若多项式 $\text{[math]}$ 是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．

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21. 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律，
第1个等式： $\text{[math]}$ ；
第2个等式： $\text{[math]}$ ；
第3个等式： $\text{[math]}$ ；
第4个等式：．

（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．

（3）试证明你的猜想：

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22. 探究与发现
观察下列等式的规律，解答下列问题；
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …

（1）第6个等式为 $\text{[math]}$ ，第100个等式 $\text{[math]}$ ；

（2）第n个等式为 $\text{[math]}$ （用含n的代数式表示，n为正整数）；

（3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ．求： $\text{[math]}$ 的值．

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23. 综合与探究
观察以下各式：
（x﹣y）（x+y）＝x²﹣y² ．
（x﹣y）（x²+xy+y²）＝x³﹣y³ ．
（x﹣y）（x³+x²y+xy²+y³）＝x⁴﹣y⁴ ．
（x﹣y）（x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴）＝x⁵﹣y⁵ ．
请回答以下问题：

（1）填空：（x﹣y）（x⁶+x⁵y+x⁴y²+x³y³+x²y⁴+xy⁵+y⁶）＝．

（2）若n≥2，求证：6ⁿ﹣2ⁿ一定能被4整除．

（3）求 $\text{[math]}$ 10¹⁹﹣10¹⁸﹣10¹⁷﹣10¹⁶﹣…﹣10²﹣10﹣1的值．

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24. 探究应用：

（1）计算： $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ =；

（2）（1）中的整式乘法计算结果很简洁，由（1）发现一个新的乘法公式：
（a—b）（）=（）（用含a、b的字母表示）；

（3）下列各项能用（2）中你发现的乘法公式计算的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

（4）求 $\text{[math]}$ 的值.

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25. 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律，
特例1： $\text{[math]}$
特：2： $\text{[math]}$
特：3： $\text{[math]}$
特例4：．（填写一个符合上述运算特征的例子）；

（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：；

（3）证明你的猜想；

（4）应用运算规律化简： $\text{[math]}$ ＝．

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26. 乘法公式的探究及应用.

（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；

（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
① $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$

（5）求 $\text{[math]}$ 的值.

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27. 在数学探究课上，老师布置如下活动：用若干个大小一样的小矩形拼成一个大矩形，探究图中包含的矩形（含正方形）个数，如图1，是由两个小矩形组成的一个图形，该图中共有3个矩形．尝试解决以下问题：

（1）图2是由4个小矩形组成的图形，该图中共有个矩形；图3是由6个小矩形组成的图形，该图中共有个矩形；

（2）小军在与同学探究时发现，矩形的个数与最大矩形的长和宽所包含的线段条数有关．如图4，最大矩形的长包含6条线段，宽也包含6条线段，则该图中共有个矩形；若某大矩形是由mn个矩形组成，则该图中共有个小矩形；（备注：1＋2＋3＋……＋n＝ $\text{[math]}$ ）

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28. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

（1）图中阴影部分的面积为；

（2）受此启发，得到 $\text{[math]}$ ＝；

（3）联系拓广，得到 $\text{[math]}$ ＝（用含n的式子表示）；

（4）迁移应用：得到 $\text{[math]}$ ＝（直接写出答案即可）．

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29. 实际问题：
各边长都是整数，最大边长为31的三角形有多少个？
问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型。
在1～n这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有多少种不同的取法？
为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
探究一：
在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有多少种不同的取法？
第一步：在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有 $\text{[math]}$ 种不同的取法．
第二步：在1～4这4个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于4，有下列取法：3+3，4+4，因此有2种不同的取法．
综上所述，在1～4这4个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于4，有 $\text{[math]}$ 种不同的取法．
探究二：
在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同的取法？
第一步：在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4；而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有 $\text{[math]}$ 种不同的取法．
第二步：在1～5这5个自然数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于5，有下列取法：3+3，4+4，5+5因此有3种不同的取法．
综上所述，在1～5这5个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于5，有 $\text{[math]}$ 种不同的取法．
探究三：
在1～6这6个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？（仿照探究二写出探究过程）
探究四：
在1～7这7个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于7，有      ▲ 种不同的取法．
探究五：
在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．
探究六：
在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数（可重复），使得所取的两个数之和大于n，有      ▲ 种不同的取法．
问题解决：
①各边长都是整数，最大边长为20的三角形有      ▲ 个；
②各边长都是整数，最大边长为31的三角形有      ▲ 个．

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