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2013年高考理数真题试卷(上海卷)
修改时间:2021-05-20
浏览次数:801
类型:高考真卷
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一、填空题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1. 计算:
=
.
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+
选题
2. 设m∈R,m
2
+m﹣2+(m
2
﹣1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=
.
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+
选题
3. 若
=
,x+y=
.
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+
选题
4. 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若3a
2
+2ab+3b
2
﹣3c
2
=0,则角C的大小是
.
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+
选题
5. 设常数a∈R,若
的二项展开式中x
7
项的系数为﹣10,则a=
.
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+
选题
6. 方程
+
=3
x
﹣
1
的实数解为
.
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+
选题
7. 在极坐标系中,曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为
.
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+
选题
8. 盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是
(结果用最简分数表示).
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+
选题
9. 设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=
,若AB=4,BC=
,则Γ的两个焦点之间的距离为
.
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+
选题
10. 设非零常数d是等差数列x
1
, x
2
, …,x
19
的公差,随机变量ξ等可能地取值x
1
, x
2
, …,x
19
, 则方差Dξ=
.
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+
选题
11. 若cosxcosy+sinxsiny=
,sin2x+sin2y=
,则sin(x+y)=
.
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+
选题
12. 设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x+
+7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为
.
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+
选题
13. 在xOy平面上,将两个半圆弧(x﹣1)
2
+y
2
=1(x≥1)和(x﹣3)
2
+y
2
=1(x≥3),两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面积为4π
+8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为
.
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+
选题
14. 对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f
﹣
1
(x),且f
﹣
1
([0,1))=[1,2),f
﹣
1
((2,4])=[0,1).若方程f(x)﹣x=0有解x
0
, 则x
0
=
.
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+
选题
二、选择题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15. 设常数a∈R,集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )
A .
(﹣∞,2)
B .
(﹣∞,2]
C .
(2,+∞)
D .
[2,+∞)
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+
选题
16. 钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( )
A .
充分条件
B .
必要条件
C .
充分必要条件
D .
既非充分又非必要条件
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+
选题
17. 在数列(a
n
)中,a
n
=2
n
﹣1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c
ij
=a
i
•a
j
+a
i
+a
j
(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
A .
18
B .
28
C .
48
D .
63
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+
选题
18. 在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为
、
、
、
、
;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为
、
、
、
、
.若m、M分别为(
+
+
)•(
+
+
)的最小值、最大值,其中{i,j,k}⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m、M满足( )
A .
m=0,M>0
B .
m<0,M>0
C .
m<0,M=0
D .
m<0,M<0
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+
选题
三、解答题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. 如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.
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+
选题
20. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1﹣
)元.
(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
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+
选题
21. 已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0
(1) 若y=f(x)在[﹣
,
]上单调递增,求ω的取值范围;
(2) 令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移
个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求b﹣a的最小值.
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+
选题
22. 如图,已知双曲线C
1
:
,曲线C
2
:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C
1
, C
2
都有公共点,则称P为“C
1
﹣C
2
型点”
(1) 在正确证明C
1
的左焦点是“C
1
﹣C
2
型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2) 设直线y=kx与C
2
有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C
1
﹣C
2
型点”;
(3) 求证:圆x
2
+y
2
=
内的点都不是“C
1
﹣C
2
型点”
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+
选题
23. 给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列a
1
, a
2
, a
3
, …满足a
n+1
=f(a
n
),n∈N
*
.
(1) 若a
1
=﹣c﹣2,求a
2
及a
3
;
(2) 求证:对任意n∈N
*
, a
n+1
﹣a
n
≥c;
(3) 是否存在a
1
, 使得a
1
, a
2
, …,a
n
, …成等差数列?若存在,求出所有这样的a
1
;若不存在,说明理由.
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