（提升卷）1.3解直角三角形-2023-2024年浙教版数学九年级下册同步测试

1. 如图，若△ABC底边BC上的高为h₁ ， △DEF底边EF上的高为h₂ ，则h₁与h₂的大小关系是（）

A . h₁=h₂ B . h₁<h₂ C . h₁>h₂ D . 以上都有可能

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2. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC²的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图是一段索道的示意图. 若 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，则洗车从 $\text{[math]}$ 点到 $\text{[math]}$ 点上升的高度 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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4. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .以点 $\text{[math]}$ 为圆心，CB长为半径的圆交AB于点 $\text{[math]}$ ，则AD的长是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. 我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结AG，CF，AG交CF于点P，AP=2 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚 $\text{[math]}$ ，展开角 $\text{[math]}$ ，晾衣臂 $\text{[math]}$ ，则支樟杆的端点 $\text{[math]}$ 离地面的高度 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，某校教学楼 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的水平间距 $\text{[math]}$ ，在教学楼 $\text{[math]}$ 的顶部 $\text{[math]}$ 点测得教学楼 $\text{[math]}$ 的顶部 $\text{[math]}$ 点的仰角为 $\text{[math]}$ ，测得教学楼 $\text{[math]}$ 的底部 $\text{[math]}$ 点的俯角为 $\text{[math]}$ ，则教学楼 $\text{[math]}$ 的高度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9.
如图，点O为小亮家的位置，他家门前有一条东西走向的公路，水塔A位于他家北偏东60°的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离是（　　）

A . 250米 B . 250 $\text{[math]}$ C . 150 $\text{[math]}$ D . 250 $\text{[math]}$

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10. 图1是一块矩形材料 $\text{[math]}$ ，被分割成三块， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将三块材料无缝隙不重叠地拼成图2的形状，此时图2恰好是轴对称图形，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了cm。

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12. 如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化.经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 .（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈ $\text{[math]}$ ，tan53°≈ $\text{[math]}$ ）

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13. 如图，A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，小明同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时小明同学一共走的距离为米．

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14. 如图，以C为公共顶点的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点D在线段 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC，CD平分∠ACB交AB于点D，以DB为直径作⊙O，分别交CD，BC于点E，F，连结BE，EF．则∠EBF=度；若DE=DC， BC=8，则EF的长为

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16. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 $\text{[math]}$ 表示固定支架， $\text{[math]}$ 垂直水平桌面 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为旋转点， $\text{[math]}$ 可转动，当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转时，投影探头 $\text{[math]}$ 始终垂直于水平桌面 $\text{[math]}$ ，经测量： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则投影探头的端点 $\text{[math]}$ 到桌面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ .如图3，将图2中的 $\text{[math]}$ 向下旋转，当投影探头的端点 $\text{[math]}$ 到桌面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的大小为度.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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17. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝ $\text{[math]}$ ， tanA＝ $\text{[math]}$ ， AC＝ $\text{[math]}$ ．

（1）求∠B的度数和AB的长．

（2）求tan∠CDB的值．

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18. 共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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19. 长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长.图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB.壶嘴EF=80cm，∠FED=70°

（1）求FE与水平桌面l的夹角

（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，求此时点F下落的高度.（结果保留一位小数）.
参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75.

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20. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .（结果精确到0.1 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）连结 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

（2）求点A，B之间的距离.

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21. 如图，有一段斜坡 $\text{[math]}$ 长为10米，坡角 $\text{[math]}$ ，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 $\text{[math]}$ .

（1）求坡高 $\text{[math]}$ ；

（2）求斜坡新起点 $\text{[math]}$ 与原起点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 精确到0.1米 $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ 参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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22. 如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山 $\text{[math]}$ 处的位置向乙山 $\text{[math]}$ 处拉电线.已知甲山上 $\text{[math]}$ 点到河边 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 米，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的垂直高度为120米；乙山 $\text{[math]}$ 的坡比为 $\text{[math]}$ ，乙山上 $\text{[math]}$ 点到河边 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 米，从 $\text{[math]}$ 处看 $\text{[math]}$ 处的俯角为25°（参考值： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）求乙山 $\text{[math]}$ 处到河边 $\text{[math]}$ 的垂直距离；

（2）求河 $\text{[math]}$ 的宽度.（结果保留整数）

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23. 如图，在一片海域中有三个岛屿，标记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .经过测量岛屿 $\text{[math]}$ 在岛屿 $\text{[math]}$ 的北偏东 $\text{[math]}$ ，岛屿 $\text{[math]}$ 在岛屿 $\text{[math]}$ 的南偏东 $\text{[math]}$ ，岛屿 $\text{[math]}$ 在岛屿 $\text{[math]}$ 的南偏东 $\text{[math]}$ .

（1）直接写出 $\text{[math]}$ 的三个内角度数；

（2）小明测得较近两个岛屿 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度（最终结果保留根号，不用三角函数表示）.

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24. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．

（1）如图1，点C是 $\text{[math]}$ 的中点，∠DAB是 $\text{[math]}$ 所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．

（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝.请填写结论，并说明理由．

（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．

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一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

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