2023年四川省中考数学真题分类汇编：二次函数

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数且 $\text{[math]}$ ）过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，下列四个结论： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 若抛物线过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有实数根，则其中正确的结论有（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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2. 如图所示，二次函数 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．有下列结论：① $\text{[math]}$ ；②若点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均在抛物线上，则 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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3. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，下列四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；其中正确结论的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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4. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，则 $\text{[math]}$ ．其中，正确的结论有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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5. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点，下列说法正确的是（）

A . 抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ B . 抛物线的顶点坐标为 $\text{[math]}$ C . A，B两点之间的距离为5 D . 当 $\text{[math]}$ 时，y的值随x值的增大而增大

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6. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是自变量），当 $\text{[math]}$ 时对应的函数值 $\text{[math]}$ 均为正数，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. 经过 $\text{[math]}$ 两点的抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自变量）与 $\text{[math]}$ 轴有交点，则线段 $\text{[math]}$ 长为（）

A . 10 B . 12 C . 13 D . 15

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8. 抛物线 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．下列说法：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ （t为全体实数）；④若图象上存在点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，满足 $\text{[math]}$ ，则m的取值范围为 $\text{[math]}$ ．其中正确的个数有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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9. 如图，拋物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）关于直线 $\text{[math]}$ 对称．下列五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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10. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）

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11. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ，且抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的交点B在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间（不含端点），则下列结论：

①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

③当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，在 $\text{[math]}$ 内存在唯一点P，使得 $\text{[math]}$ 的值最小，最小值的平方为 $\text{[math]}$ ．

其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

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12. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线解析式及 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点坐标；

（2）以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $\text{[math]}$ 坐标；

（3）该抛物线对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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13. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点， $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为第一象限内抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当点P在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上时，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D．如图1．当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求点P的坐标及 $\text{[math]}$ 的最大值；

（3）过点P作x轴的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，当点M的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

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15. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对称轴过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且垂直于 $\text{[math]}$ 轴．过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 轴上时， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是抛物 $\text{[math]}$ （b为常数）上的两点，当 $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$

（1）求b的值；

（2）将抛物线 $\text{[math]}$ 平移后得到抛物线 $\text{[math]}$ ．
探究下列问题：

①若抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 有一个交点，求m的取值范围；

②设抛物线C₂与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为点E， $\text{[math]}$ 外接圆的圆心为点F，如果对抛物线 $\text{[math]}$ 上的任意一点P，在抛物线 $\text{[math]}$ 上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．

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17. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（3）点M是y轴上一动点，当 $\text{[math]}$ 最大时，求M的坐标．

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于B，C两点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若 $\text{[math]}$ 是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；

（3）过点 $\text{[math]}$ 作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得 $\text{[math]}$ 始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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19. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，求出 $\text{[math]}$ 的最大面积及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上一动点，点 $\text{[math]}$ 为坐标平面内一点，是否存在以 $\text{[math]}$ 为边，点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 如图，已知抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 过抛物线的顶点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的最大值；

②当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与坐标轴分别相交于点A，B， $\text{[math]}$ 三点，其对称轴为 $\text{[math]}$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点 $\text{[math]}$ 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴，直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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2023年四川省中考数学真题分类汇编：二次函数

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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