2023年中考数学探究性试题复习10 一元二次方程

修改时间：2023-05-23 浏览次数：166 类型：三轮冲刺编辑

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一、综合题

1. [阅读材料]
已知x²+y²+8x-6y+25=0，求x，y的值．．

解：将25拆分为16和9，可得(x²+8x+16)+(y²-6y+9)=0，

即(x+4)²+(y-3)²=0，

∴．x+4=0，y-3=0，

∴x=-4，y=3．

（1） [解决问题]
已知m²+n²-12n+10m+61=0，求(m+n)²⁰²³的值；

（2） [拓展应用]已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b²+c²=8b+4c-20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．

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2. 阅读与思考
我们把多项式 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决与非负数有关的问题和求代数式最大值，最小值等问题．
例如： $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是5．
根据材料用配方法解决下列问题．

（1）若多项式 $\text{[math]}$ 是一个完全平方式，则常数k的值为____．

A . 9 B . -9 　　　 C . ±9 D . 36

（2）分解因式： $\text{[math]}$ ．

（3）当x为何值时，多项式 $\text{[math]}$ 有最小值?并求出这个最小值．

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3. 提出问题
为解方程 $\text{[math]}$ ，我们可以将 $\text{[math]}$ 视为一个整体，然后可设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，于是原方程可转化为 $\text{[math]}$ ，解此方程，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ．
∴原方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题

（1）运用上述换元法解方程 $\text{[math]}$ ．

（2）已知实数m，n满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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4. 阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，如果方程有两个实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单.
材料2：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为m，n，求 $\text{[math]}$ 的值.

解： $\text{[math]}$ 一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为m，n，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ .

（2）类比应用：在（1）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）思维拓展：已知实数s、t满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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5. 阅读材料．
将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法．这种方法常常被用到代数式的恒等变形中，其作用在于揭示代数式的非负性，是挖掘隐含条件的利器，添项，拆项是常用的方法与技巧．
例如，我们可以通过配方法，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值，解题过程如下：
解：∵ $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ ， ∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值为 $\text{[math]}$ ．
请根据上述方法，解答下列问题：

（1） $\text{[math]}$ ，则ab的值是

（2）若代数式 $\text{[math]}$ 的最小值为2，求k的值．

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6. 配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为 $\text{[math]}$ ，所以5是“完美数”.
【解决问题】

（1）已知29是“完美数”，请将它写成 $\text{[math]}$ （a、b是整数）的形式

（2）若 $\text{[math]}$ 可配方成 $\text{[math]}$ （m、n为常数），则mn＝；

（3）【探究问题】已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

（4）已知 $\text{[math]}$ x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.

（5）【拓展结论】已知实数x、y满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最值.

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7. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
例如，把二次三项式 $\text{[math]}$ 进行配方.
解： $\text{[math]}$ .
我们定义：一个整数能表示成 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为 $\text{[math]}$ .再如， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是整数），所以 $\text{[math]}$ 也是“雅美数”.

（1） [问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是.

（2）若二次三项式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是整数）是“雅美数”，可配方成 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数），则 $\text{[math]}$ 的值为；

（3） [问题探究]已知 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是整数， $\text{[math]}$ 是常数且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），要使 $\text{[math]}$ 为“雅美数”，试求出符合条件的 $\text{[math]}$ 值.

（4） [问题拓展]已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是“雅美数”，求证： $\text{[math]}$ 是“雅美数”.

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8. 阅读材料：把形如 $\text{[math]}$ 的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 $\text{[math]}$ 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式 $\text{[math]}$ 进行变形，其过程如下

$\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ .

因此，该式有最小值1.

②已知： $\text{[math]}$ 将其变形， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ .

（1）按照上述方法，将代数式 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ 的形式；

（2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三边，且满足 $\text{[math]}$ ，试判断此三角形的形状并说明理由；

（3）已知 $\text{[math]}$ .
①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ ▲ ；

②若 $\text{[math]}$ ，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值.

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9. 下面是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．

一元二次方程根与系数的关系

通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．

从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别记为 $\text{[math]}$ ，则有恒等式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．比较两边系数可得： $\text{[math]}$ ____， $\text{[math]}$ ____．

任务：

（1）填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（2）小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，

并补全推理过程．

解：对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，

当 $\text{[math]}$ 时，有两个实数根 $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ ▲ ．

……

（3）方程 $\text{[math]}$ 的两根之和为，两根之积为．

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10. 阅读材料：
材料1：若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
材料2：已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
解：由题知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根，根据材料1得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
根据上述材料解决以下问题：

（1）材料理解：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（2）类比探究：已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）思维拓展：已知实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的值.

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11. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ $\text{[math]}$ c，这时我们把关于x的形如 $\text{[math]}$ 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：

（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
① $\text{[math]}$ （填“是”或“不是”）；
② $\text{[math]}$ （填“是”或“不是”）

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” $\text{[math]}$ 必有实数根；

（3）若 $\text{[math]}$ 是“勾系一元二次方程” $\text{[math]}$ 的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积.

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12. 定义：已知 $\text{[math]}$ 是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ，因 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以一元二次方程 $\text{[math]}$ 为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：

（1）判断一元二次方程 $\text{[math]}$ 是否为“限根方程”，并说明理由；

（2）若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“限根方程”，且两根 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求k的值；

（3）若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“限根方程”，求m的取值范围.

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13. 阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则m，n是方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .根据上述材料，解决以下问题：

（1）直接应用：已知实数a，b满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）间接应用：在（1）条件下，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）拓展应用：已知实数x，y满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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14. 阅读材料，解答问题：
材料1

为了解方程 $\text{[math]}$ ，如果我们把 $\text{[math]}$ 看作一个整体，然后设 $\text{[math]}$ ，则原方程可化为 $\text{[math]}$ ，经过运算，原方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，显然m，n是方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根，由书达定理可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

根据上述材料，解决以下问题：

（1）直接应用：
方程 $\text{[math]}$ 的解为；

（2）间接应用：
已知实数a，b满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）拓展应用：
已知实数m，n满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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15. 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝ $\text{[math]}$ ，x₁x₂＝ $\text{[math]}$

材料2：已知一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m²n＋mn²的值．

解：∵一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m²n＋mn²＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程2x²－3x－1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝；x₁x₂＝．

（2）类比应用：已知一元二次方程2x²－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 $\text{[math]}$ 的值．

（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s²－3s－1＝0，2t²－3t－1＝0，且s≠t，求 $\text{[math]}$ 的值．

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