备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（3）

修改时间：2023-05-15 浏览次数：132 类型：三轮冲刺编辑

选择试卷全部试题 *点击此按钮，可全选试卷全部试题，进行试卷编辑

一、真题

1.

（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于 $\text{[math]}$ 点．求证： $\text{[math]}$

（2）【类比迁移】如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．

（3）【拓展应用】如图③，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的三等分点， $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的长．

查看解析收藏纠错

+选题
2. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

（1）求BD的长；

（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE= $\text{[math]}$ DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ $\text{[math]}$ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ $\text{[math]}$ CF的最小值；如果不是，请说明理由．

查看解析收藏纠错

+选题
3. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求线段 $\text{[math]}$ 的长；

（2）求证四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；

（3）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（与端点不重合），且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

查看解析收藏纠错

+选题
4. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， $\text{[math]}$ ，EP与正方形的外角 $\text{[math]}$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接CP，可以求出 $\text{[math]}$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．当 $\text{[math]}$ 时，请你求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．

查看解析收藏纠错

+选题

二、模拟预测

5. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.
根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；

（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E.
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值.

查看解析收藏纠错

+选题
6.

（1）【问题探究】如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

（2）【知识迁移】如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，点M、N分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）【拓展应用】如图3，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，点M、N分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的度数之间满足什么数量关系时，有 $\text{[math]}$ ？试写出其数量关系，并说明理由.

查看解析收藏纠错

+选题
7. 平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点E在边 $\text{[math]}$ 上，连 $\text{[math]}$ ，点F在线段 $\text{[math]}$ 上，连 $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，已知 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；

（2）如图2，已知 $\text{[math]}$ ，将射线 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折交 $\text{[math]}$ 于H，过点C作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G．若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）如图3，已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

查看解析收藏纠错

+选题
8. 将正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转至 $\text{[math]}$ ，记旋转角为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，垂足为点F，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的形状为， $\text{[math]}$ 的值为；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②如图3，正方形 $\text{[math]}$ 边长为4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，是否存在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ，若不存在，请说明理由．

查看解析收藏纠错

+选题
9. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的动点（与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），连接 $\text{[math]}$ ．

（1）将射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
①依题意补全图1；
②小深通过观察、实验，发现线段 $\text{[math]}$ 存在以下数量关系： $\text{[math]}$ 的平方和等于 $\text{[math]}$ 的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：
想法1：将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，要证 $\text{[math]}$ 的关系，只需证 $\text{[math]}$ 的关系．
想法2：将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ ，要证 $\text{[math]}$ 的关系，只需证 $\text{[math]}$ 的关系．
…
请你参考上面的想法，用等式表示线段 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明；（一种方法即可）

（2）如图2，若将直线 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若正方形边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

查看解析收藏纠错

+选题
10. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为E，F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．

（1）独立思考：请解答老师提出的问题；

（2）实践探究：希望小组受此问题的启发，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ （F为 $\text{[math]}$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点G，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．

（3）问题解决：智慧小组突发奇想，将 $\text{[math]}$ 沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 于点H，折痕交 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点N．该小组提出一个问题：若此 $\text{[math]}$ 的面积为20，边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分（四边形 $\text{[math]}$ ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

查看解析收藏纠错

+选题
11. 如图1，已知点G在正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，垂足为点E， $\text{[math]}$ ，垂足为点F．

（1）证明与推断：
②求证：四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；
②推断： $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；

（2）探究与证明：
将正方形的 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，如图2所示，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：
正方形 $\text{[math]}$ 在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

查看解析收藏纠错

+选题
12. 数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．

（1）推理证明：
在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的符合题意性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中线，则 $\text{[math]}$ ，请你用矩形的性质证明这个结论的符合题意性．

（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2，在线段 $\text{[math]}$ 异侧以 $\text{[math]}$ 为斜边分别构造两个直角三角形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系并说明理由；
②如图3， $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是矩形；

查看解析收藏纠错

+选题
13.

（1）【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）（图 $\text{[math]}$ ），使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在 $\text{[math]}$ 上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕 $\text{[math]}$ ，折出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．

请证明△PBC是等边三角形．

（2）【数学思考】
如图④，小明画出了图③的矩形 $\text{[math]}$ 和等边三角形 $\text{[math]}$ ．他发现，在矩形 $\text{[math]}$ 中把 $\text{[math]}$ 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．

（3）【问题解决】
已知矩形一边长为 $\text{[math]}$ ，另一边长为 $\text{[math]}$ ．对于每一个确定的 $\text{[math]}$ 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的 $\text{[math]}$ 的取值范围．

查看解析收藏纠错

+选题
14. 如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上的一点，连结CE，过D作DF⊥CE于点G，DF交边AB于点F．已知DG＝4，CG＝16．

（1） EG的长度是．

（2）如图2，以G为圆心，GD为半径的圆与线段DF、CE分别交于M、N两点．
①连接CM、BM，若点P为BM的中点，连结CP，求证∠BCP＝∠MCP．
②连接CN、BN，若点Q为BN的中点，连结CQ，求线段CQ的长．

查看解析收藏纠错

+选题
15. 如图

（1）动手操作：如图1，将一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角，打开，剪出的是一个形．再利用图形的“旋转”开展数学探究活动，体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法；

（2）问题探究：如图2，由“动手操作”所得的四边形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，把一个与它全等的四边形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展迁移：如图3，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线交点为 $\text{[math]}$ ，直角 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

查看解析收藏纠错

+选题
16. 如图

（1）【教材呈现】如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 摆放在一起，点 $\text{[math]}$ 为公共顶点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 固定不动，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），则结论 $\text{[math]}$ 是否成立（填“成立”或“不成立”）；

（2）【类比引申】如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内的一个动角，两边分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）【拓展延伸】如图3，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两边分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

查看解析收藏纠错

+选题
17. 如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，沿着 $\text{[math]}$ 折叠矩形 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别落在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处，且点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（不与两端点重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）若 $\text{[math]}$ ，求折叠后重叠部分的面积．

查看解析收藏纠错

+选题

备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（3）

一、真题

二、模拟预测

相关试卷 收起∨

相关试卷收起∨