解：①补全图形，如图1所示：

② $A E^{2} + F C^{2} = E F^{2}$ ；理由如下：

想法1：过 $B$ 作 $M B ⊥ B F$ ，使 $B M = B F$ ，连接 $A M 、 E M$ ，如图2所示：

∵四边形 $A B C D$ 是正方形，

∴ $∠ A B C = 90 ° ， ∠ 1 = ∠ 2 = 45 ° ， A B = B C$ ，

∵ $∠ 3 = 45 °$ ，

∴ $∠ M B E = ∠ 3 = 45 °$ ，

在 $△ M B E$ 和 $△ F B E$ 中，

${\begin{array}{l} B M = B F \\ ∠ 4 = ∠ 3 \\ B E = B E \end{array}$ ，

∴ $△ M B E ≌ △ F B E (S A S)$ ，

∴ $E M = E F$ ，

∵ $∠ 4 = 90 ° - ∠ A B F ， ∠ 5 = 90 ° - ∠ A B F$ ，

∴ $∠ 4 = ∠ 5$ ，

在 $△ A M B$ 和 $△ C F B$ 中

${\begin{array}{l} B M = B F \\ ∠ 4 = ∠ 5 \\ A B = C B \end{array}$ ，

∴ $△ A M B ≌ △ C F B (S A S)$ ，

∴ $A M = F C ， ∠ 6 = ∠ 2 = 45 °$ ，

∴ $∠ M A E = ∠ 6 + ∠ 1 = 90 °$ ，

在 $R t △ M A E$ 中， $A E^{2} + A M^{2} = E M^{2}$ ，

∴ $A E^{2} + F C^{2} = E F^{2}$ ；

想法2，如图所示，

∵四边形 $A B C D$ 是正方形，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折，得到 $△ N B E$ ，

∴ $∠ A B C = 90 ° ， ∠ 1 = ∠ 2 = 45 ° ， A B = B C = B N$ ， $∠ A B E = ∠ N B E$ ， $∠ 4 = 45 °$

∵ $∠ E B F = 45 °$ ，

∴ $∠ E B N + ∠ N B F = 45 °$

∴ $∠ A B E + ∠ F B C = 45 °$

∴ $∠ F B C = ∠ N B F$

在 $△ N B F$ 和 $△ C B F$ 中，

${\begin{array}{l} B N = B C \\ ∠ F B C = ∠ N B F \\ B F = B F \end{array}$ ，

∴ $△ N B F ≌ △ C B F$ ，

∴ $∠ 3 = ∠ 4 = 45 °$ ，

∴ $∠ 2 + ∠ 3 = 90 °$ ，

在 $R t △ E N F$ 中， $E N^{2} + F N^{2} = E F^{2}$ ，

∴ $A E^{2} + F C^{2} = E F^{2}$ ；

备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（3）