苏科版初中数学九年级上册1.2.6 一元二次方程的解法

1. 下列各式：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ 变形中，正确的有（）

A . ①④ B . ① C . ④ D . ②④

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2. 已知方程x²－6x + q = 0可以配方成（x－p）² =7的形式，那么x²－6x +q =2可以配方成下列的（）

A . （x－p）² =9 B . （x－p）² = 5 C . （x－p +2）² =9 D . （x－p + 2）² =5

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3. 已知关于x的多项式 $\text{[math]}$ 的最大值为5，则m的值可能为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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4. 已知 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）

A . P＞Q B . P=Q C . P＜Q D . 不能确定

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5. 若 $\text{[math]}$ 的三边长a、b、c满足 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 是（）

A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 锐角三角形 D . 钝角三角形

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6. 已知 $\text{[math]}$ 三边为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是（）

A . 以a为斜边的直角三角形 B . 以b为斜边的直角三角形以 C . 以c为斜边的直角三角形 D . 不是直角三角形

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7. 不论 $\text{[math]}$ 为何实数，代数式 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 总不小于 $\text{[math]}$ B . 总不大于 $\text{[math]}$ C . 总不小于 $\text{[math]}$ D . 可为任何实数

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8. 多项式x²﹣6x+4y²+4y+20的最小值是（　　）

A . 20 B . 17 C . 10 D . 0

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9. 已知实数m ， n ， c满足m²﹣m+ $\text{[math]}$ c＝0，n＝4m²﹣4m+c²﹣ $\text{[math]}$ ，则n的取值范围是（）

A . n＞﹣ $\text{[math]}$ B . n≥﹣ $\text{[math]}$ C . n＞﹣1 D . n≥﹣1

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10. 已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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11. 代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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12. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 已知实数a和b适合a²b²＋a²＋b²＋1＝4ab ，则a＋b＝．

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14. 已知 a+b=-3，a²b+ab²=-30，则 a²-ab+b²+11=．

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15. 若多项式p=a²+2b²+2a+ 4b+2020，则p的最小值是。

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16. 已知等腰 $\text{[math]}$ 的两边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为．

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17. 若一个整数能表示成 $\text{[math]}$ （a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 $\text{[math]}$ ，所以5是一个完美数.已知 $\text{[math]}$ （x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为.

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18. 课本上把多项式“a²±2ab+b²”叫做完全平方式. 完全平方式具有非负性，因此可以把一个多项式变形成“完全平方式+数字”的形式，以此来求代数式的最小值（或最大值）. 例如：x²+2x+3 = (x²+2x+1)+2 = (x+1)²+2，因为(x+1)²≥0，所以，当 x= -1时，代数式x²+ 2x+ 3有最小值2.那么，对于代数式4x²-4x-3，当 x=时，有最小值为.

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19. 已知代数式 $\text{[math]}$ ，先用配方法说明，不论 $\text{[math]}$ 取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当 $\text{[math]}$ 取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？

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20. 若a、b、c是△ABC的三边，且a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，判断这个三角形的形状．

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21. 阅读下面的解题过程，求y²+4y+8的最小值.
解：y²+4y+8＝y²+4y+4+4＝（y+2）²+4

∵（y+2）²≥0，即（y+2）²的最小值为0，

∴y²+4y+8的最小值为4.

仿照上面的解答过程，求x²+6x+13的最小值和6﹣a²+2a的最大值.

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22. 发现与探索．
小丽的思考：代数式（a﹣3）²+4无论a取何值（a﹣3）²都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）²+4大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：

（1）说明：代数式a²﹣12a+20的最小值为﹣16．

（2）请仿照小丽的思考求代数式﹣a²+10a﹣8的最大值．

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23. 先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y²＋4y＋8的最小值．
解∶y²＋4y＋8＝y²＋4y＋4－4＋8＝y²＋4y＋4＋4＝（y＋2）²＋4，

$\text{[math]}$ （y＋2）²≥0，

$\text{[math]}$ （y＋2）²＋4≥4

$\text{[math]}$ y²＋4y＋8的最小值是4

（1）求代数式x²＋2x＋4的最小值；

（2）当m为何值时，代数式m²－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．

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24. 阅读下面的材料：
若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．

解： $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

根据你的观察，探究下列问题：

（1）已知等腰三角形 $\text{[math]}$ 的两边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都是正整数，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长；

（2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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25. 我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有 $\text{[math]}$ 成立，所以当a＝0时，有最小值 $\text{[math]}$ .
（应用）

（1）代数式 $\text{[math]}$ 有最小值时， $\text{[math]}$ =；

（2）代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是；

（3）（探究）求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值，小明是这样做的： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，∴当 $\text{[math]}$ 时，代数式 $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为5
请你参照小明的方法，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值，并求此时a的值.

（4）（拓展）
代数式 $\text{[math]}$ ，求m+n的值.

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26. 我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有 $\text{[math]}$ 成立，所以当a＝0时，有最小值 $\text{[math]}$ .

（1）（应用）
代数式 $\text{[math]}$ 有最小值时，x=；

（2）代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是；

（3）（探究）求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值，小明是这样做的： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，∴当 $\text{[math]}$ 时，代数式 $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为5
请你参照小明的方法，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值，并求此时a的值.

（4）（拓展）
代数式 $\text{[math]}$ ，求m+n的值.

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27. 我们知道：
$\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ，

这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：

（1）探究：当a取不同的实数时，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值.

（2）应用：如图.已知线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，设 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作正方形 $\text{[math]}$ ，再以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为一组邻边作长方形 $\text{[math]}$ .问：当点M在 $\text{[math]}$ 上运动时，长方形 $\text{[math]}$ 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由.

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28. 阅读理解并解答：

（1）（方法呈现）
我们把多项式 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题.
例如： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ .

则这个代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是，这时相应的 $\text{[math]}$ 的值是.

（2）（尝试应用）
求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的 $\text{[math]}$ 的值.

（3）（拓展提高）
将一根长 $\text{[math]}$ 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由.

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