湖南省长沙市四大名校名师团队2021届高三下学期数学高考猜题卷A

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）

一百零八塔全景

A . 第5行，呈葫芦状 B . 第6行，呈葫芦状 C . 第7行，呈宝瓶状 D . 第8行，呈宝瓶状

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4. 一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．

A . 36 B . 48 C . 72 D . 120

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5. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数 $\text{[math]}$ 的函数图象，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是奇函数 B . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 的周期是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减

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6. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）

A . 甲同学和乙同学 B . 丙同学和乙同学 C . 乙同学和甲同学 D . 丙同学和甲同学

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7. 有两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，有一条定长的线段 $\text{[math]}$ ，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个确定点，即点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的距离的比值是一个定值．那么，随着线段 $\text{[math]}$ 的运动，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹及焦距长为（）

A . 椭圆，焦距长为 $\text{[math]}$ B . 椭圆，焦距长为 $\text{[math]}$ C . 双曲线，焦距长为 $\text{[math]}$ D . 双曲线，焦距长为 $\text{[math]}$

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8. 设函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．令集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 中的元素个数为（）

A . 2020 B . 2021 C . 4040 D . 4042

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9. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）

A . 如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体 B . 如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体 C . 如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法 D . 如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等

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10. 设实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列不等式成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 设正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A . 若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ B . 若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 时，二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的可能取值为（）

A . $\text{[math]}$ B . -1 C . 0 D . 1

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13. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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14. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个 $\text{[math]}$ 的值．

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15. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则满足 $\text{[math]}$ 成立的最大正整数 $\text{[math]}$ 的值为．

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16. 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线为正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在的直线，点 $\text{[math]}$ 为该双曲线的右焦点，若过点 $\text{[math]}$ 的直线与直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的分别相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 内切圆半径的最大值为．

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17. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等差数列，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 的最值．

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18. 某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四个位置建四座观景台，在凸四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 千米． $\text{[math]}$ 千米．

（1）用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；

（2）现要在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两处连接一根水下直管道，已知 $\text{[math]}$ ，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．

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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．

（1）设平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性.2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是 $\text{[math]}$ ．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：
方式一：逐个检测；

方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；

方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；

其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．

（附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．）

（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；

（2）若 $\text{[math]}$ ，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．

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21. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，该点到原点的距离与到 $\text{[math]}$ 的准线的距离相等．

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）过焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且与以焦点 $\text{[math]}$ 为圆心2为半径的圆交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴右侧．
①证明：当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴不平行时， $\text{[math]}$

②过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之积的取值范围．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 总存在唯一的极小值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

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湖南省长沙市四大名校名师团队2021届高三下学期数学高考猜题卷A

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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