湖北省（B4联考新高考调研）部分省级示范性重点中学2020-2021学年高三上学期数学统一质量检测试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ 为锐角，且满足如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. “你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如下六种垃圾桶：

一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在 $\text{[math]}$ 中，满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法中错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 可能为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 可能为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 可能为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 可能为等腰 $\text{[math]}$

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6. 已知大于1的正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则正整数 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 11

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7. 现有一个三棱锥形状的工艺品 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 的投影为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若要将此工艺品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（）

A . 42π B . 44π C . 48π D . 49π

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8. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ，其焦点为 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，则下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若在准线上存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为等边三角形，则 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ C . 若在准线上存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的内切圆的面积可能为 $\text{[math]}$ D . 若在准线上存在一点 $\text{[math]}$ ，使直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的重心 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，则当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若在曲线 $\text{[math]}$ 的图象上存在四个点构成正方形，且该正方形的面积为 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 取得最大值时， $\text{[math]}$ 取得最小值，且 $\text{[math]}$ 的最大值为-2 B . $\text{[math]}$ 的最小值为8 C . $\text{[math]}$ 的最小值为24 D . 当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有三个零点且各零点处切线斜率的倒数之和为 $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 恒成立 B . 当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 恒成立 C . 当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 恒成立 D . 当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 恒成立

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 只有一个零点，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 只有一个零点，则 $\text{[math]}$ 恒成立 C . 若 $\text{[math]}$ 只有两个零点，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 有且只有一个极值点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 恒成立

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13. 已知不共线的单位向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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14. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左顶点为A，右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ .若动点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 的右支上且不与右顶点重合，满足 $\text{[math]}$ 恒成立，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线的方程为.

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15. 西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中，某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为 $\text{[math]}$ ，半径 $\text{[math]}$ 且为 $\text{[math]}$ 米，而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角，需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示，位于峡谷悬崖壁上的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的连线恰好与圆弧拐角相切于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一水平面内），若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过米.

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16. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中， $\text{[math]}$ 的面积的最大值为 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ 成立的点 $\text{[math]}$ 有且只有 $\text{[math]}$ 个.当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的下方运动时，记 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，内切圆半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为， $\text{[math]}$ 的外接圆面积的取值范围为.

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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为整数.

（1）求 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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18. 已知 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的实数根，记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数且 $\text{[math]}$ 若. $\text{[math]}$ 恒成立，求：

（1）数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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19. 如图所示，已知直棱柱 $\text{[math]}$ 的底面四边形是菱形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，且满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）是否存在点 $\text{[math]}$ 使得二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，有且只有 $\text{[math]}$ 个位置使得 $\text{[math]}$ 为直角三角形，且 $\text{[math]}$ 的内切圆半径的最大值为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）过点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的直线交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，记 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最大值.

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21. 射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康.为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.

（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有 $\text{[math]}$ 发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为 $\text{[math]}$ ，靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

（2）张三在休息之余用手机逛 $\text{[math]}$ 站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”.由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M1917，弹容为6发的左轮手枪，弹巢中有 $\text{[math]}$ 发实弹，其余均为空包弹.现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行 $\text{[math]}$ 次射击后，记弹巢中空包弹的发数 $\text{[math]}$ .
（ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，探究数学期望 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的关系；

（ⅱ）若无论 $\text{[math]}$ 取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望 $\text{[math]}$ 时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最小的射击次数 $\text{[math]}$ .（参考数据： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ）

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，记函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 恒成立且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

（2）若 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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湖北省（B4联考新高考调研）部分省级示范性重点中学2020-2021学年高三上学期数学统一质量检测试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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湖北省（B4联考新高考调研）部分省级示范性重点中学2020-2021学年高三上学期数学统一质量检测试卷

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