福建省南平市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

1. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位），在复平面内 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 下列命题中假命题是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为常数）则“ $\text{[math]}$ ”是 $\text{[math]}$ 为奇函数的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家.他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，且椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极小值点，则函数 $\text{[math]}$ 的极小值为（）

A . 0 B . -1 C . 2 D . 4

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6. 若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. 函数 $\text{[math]}$ 有两个不同零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，已知 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点，过点 $\text{[math]}$ 的直线与圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 之间），与双曲线 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充分不必要条件 B . “ $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ” C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ .

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10. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且双曲线C的左焦点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右顶点，点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的右支上位于第一象限的动点，记 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 点到双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线距离为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 为定值 $\text{[math]}$

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11. 如图，已知在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点.则下列结论正确的有（）

A . 当 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 中点时，直线BP与平面ABCD所成角的正切值为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变 C . 当 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动到某一点时，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动时，△ $\text{[math]}$ 的面积存在最小值 $\text{[math]}$

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12. 已知： $\text{[math]}$ 是奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 若复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数（ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则实数 $\text{[math]}$ .

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14. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直，则实数 $\text{[math]}$ 的值为．

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15. 在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分米，在它的内部放有一个半径为 $\text{[math]}$ 分米的球形灯泡，球心 $\text{[math]}$ 在轴 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 分米．已知球形灯泡的球心 $\text{[math]}$ 到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点 $\text{[math]}$ 处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是

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16. 已知： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 有最值，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为；若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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17. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

（1）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 都为真命题，求x的取值范围；

（2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的点.

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

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19. 某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为 $\text{[math]}$ 元，预计当每件产品的售价为 $\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 时，年销量为 $\text{[math]}$ 万件.若每件产品的售价定为 $\text{[math]}$ 元时，预计年利润为 $\text{[math]}$ 万元

（1）试求每件产品的成本 $\text{[math]}$ 的值；

（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润 $\text{[math]}$ （万元）最大，并求最大值．

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20. 如图①，在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）试在线段 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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21. 已知离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．过 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）若过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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22. 已知，函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的切线，求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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福建省南平市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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