上海市奉贤区2021届高三上学期数学一模试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：143 类型：高考模拟编辑

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一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 “ $\text{[math]}$ ”是 “ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件

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2. 设 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的一个法向量，设向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点 $\text{[math]}$ 到两旗杆顶点的仰角相等，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹是（）

A . 椭圆 B . 圆 C . 双曲线 D . 抛物线

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4. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数 $\text{[math]}$ 为：当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数， $\text{[math]}$ 是既约真分数）时 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的无理数时 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、a+b都是区间 $\text{[math]}$ 内的实数，则下列不等式一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

5. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 上的一点 $\text{[math]}$ 到椭圆一个焦点的距离为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到另一个焦点的距离为.

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6. 在 $\text{[math]}$ 展开式中，常数项为.（用数值表示）

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7. 若实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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8. 复数 $\text{[math]}$ 的虚部是.

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9. 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ .

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11. 等差数列 $\text{[math]}$ 中，公差为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项之和，且 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ .

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12. 若抛物线 $\text{[math]}$ 的准线与曲线 $\text{[math]}$ 只有一个交点，则实数 $\text{[math]}$ 满足的条件是.

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13. 某工厂生产 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种型号的不同产品，产品数量之比为 $\text{[math]}$ .用分层抽样的方法抽出一个样本容量为 $\text{[math]}$ 的样本，则其中 $\text{[math]}$ 种型号的产品有 $\text{[math]}$ 件.现从样本中抽出两件产品，此时含有 $\text{[math]}$ 型号产品的概率为.

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14. 对于正数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的算术平均值，并称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的几何平均值.设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的算术平均值是1，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的几何平均值（ $\text{[math]}$ 是自然对数的底）的最小值是.

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15. 在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ （不包括端点）上的动点，且线段 $\text{[math]}$ 平行于平面 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值是.

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是奇函数，定义域为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），当函数 $\text{[math]}$ 有3个零点时，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）当四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ 时，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小；

（2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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18. 在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）和燃料的质量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），火箭（除燃料外）的质量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底）.

（1）当燃料质量 $\text{[math]}$ 为火箭（除燃料外）质量 $\text{[math]}$ 的两倍时，求火箭的最大速度（单位： $\text{[math]}$ ）结果精确到0.1）；

（2）当燃料质量 $\text{[math]}$ 为火箭（除燃料外）质量 $\text{[math]}$ 的多少倍时，火箭的最大速度可以达到 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （结果精确到0.1）.

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19. 在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ 三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在 $\text{[math]}$ ，它的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，_______.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 如图，曲线 $\text{[math]}$ 的方程是 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点， $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 点的左边，曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .

（1）过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（异于 $\text{[math]}$ 点），点 $\text{[math]}$ 在第一象限，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是定值；

（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 有且仅有一个公共点，求直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角范围；

（3）过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（异于 $\text{[math]}$ 点），点 $\text{[math]}$ 在第一象限，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 成立时 $\text{[math]}$ 的值.

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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 恒成立.

（1）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 成等差数列时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 以及 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项之和，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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上海市奉贤区2021届高三上学期数学一模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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