辽宁省抚顺市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

1. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两条不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角相等，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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2. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

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3. 已知 $\text{[math]}$ 是同一球面上的四个点，其中 $\text{[math]}$ 是正三角形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E，F分别是 $\text{[math]}$ 的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使 $\text{[math]}$ 三点重合于点G，现给出下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（）

A . ①和③ B . ②和⑤ C . ①和④ D . ②和④

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5. 若直线 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 没有交点，则过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 的交点个数为（）

A . 2 B . 1 C . 0 D . 0或1

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6. 已知F₁ ， F₂分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，若 $\text{[math]}$ ，AF₂⊥x轴，则椭圆E的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若椭圆 $\text{[math]}$ (a>b>0)的离心率 $\text{[math]}$ ，右焦点为F(c,0)，方程ax²＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x₁ ， x₂ ，则点P(x₁ ， x₂)到原点的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. 设椭圆 $\text{[math]}$ 和双曲线 $\text{[math]}$ 的公共焦点分别为F₁、F₂ ， P为这两条曲线的一个交点，则|PF₁|·|PF₂|的值等于（）

A . 3 B . 2 $\text{[math]}$ C . 3 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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9. 下列四个命题中真命题是（）

A . 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 B . 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 C . 垂直于同一直线的两条直线相互平行 D . 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直

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10. 在体积为 $\text{[math]}$ 的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3则CD的长可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 7 D . 19

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11. 若曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 有两个交点，则实数k的取值可以是（）

A . 0.3 B . 0.75 C . 0.8 D . 0.6

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12. 正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱的长度均相等，D为AA₁的中点，M，N分别是线段BB₁和线段CC₁上的动点(含端点)，且满足BM=C₁N，当M，N运动时，下列结论正确的是（）

A . 在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B . 平面DMN⊥平面BCC₁B₁ C . 三棱锥A-DMN的体积为定值 D . △DMN可能为直角三角形

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13. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为F₁ ， F₂ ，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的第一象限的交点为P.若∠PF₁F₂=30°，则该双曲线的离心率为.

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14. 如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．

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15. 已知双曲线方程是x²－ $\text{[math]}$ ＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P₁、P₂两点，并使P(2，1)为P₁P₂的中点，则此直线方程是．

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16. 已知二面角 $\text{[math]}$ 为60°，动点P、Q分别在面 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 内，P到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，Q到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则P、Q两点之间距离的最小值为．

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17. 已知点M(0，3)，N(-4，0)及点P(-2，4)；

（1）若直线l经过点P且l $\text{[math]}$ MN，求直线l的方程；

（2）求△MNP的面积.

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18. 如图，在空间几何体A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD $\text{[math]}$ BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形.

（1）若F为AC的中点，求证：BF $\text{[math]}$ 平面ADE；

（2）若AC=4，求证：平面ADE⊥平面BCDE.

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19.

（1）求经过点A(5，2)，点B(3，2)，且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；

（2）已知圆上的点C(2，3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，若该圆与直线x-y+1=0相交的弦长为 $\text{[math]}$ ，求这个圆的方程.

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20. 已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中BC=1，CC₁=BB₁=2，AB= $\text{[math]}$ ，∠BCC₁=60°，AB⊥侧面BB₁C₁C

（1）求证：C₁B⊥平面ABC；

（2）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，

（3）试在棱CC₁(不包含端点C，C₁)上确定一点E，使得EA⊥EB₁；

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21. 如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥.AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC= $\text{[math]}$

（1）证明：PD⊥平面PBC；

（2）求直线PA与平面ABCD所成角的正切值；

（3）若AA₁=a，当a为何值时，PC $\text{[math]}$ 平面AB₁D.

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22. 已知抛物线y²=2px(p>0)上的点T(3，t)到焦点F的距离为4.

（1）求t，p的值；

（2）设抛物线的准线与x轴的交点为M，是否存在过点M的直线l交抛物线于A，B两点(点B在点A的右侧)，使得直线AF与直线OB垂直？若存在，求出△AFB的面积，若不存在，请说明理由.

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辽宁省抚顺市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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